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$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x}$ を計算する。

解析学極限三角関数ロピタルの定理
2025/7/13

1. 問題の内容

lim⁡x→0xtan⁡x\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} を計算する。

2. 解き方の手順

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} であるから、
xtan⁡x=xsin⁡xcos⁡x=xcos⁡xsin⁡x=xsin⁡x⋅cos⁡x\frac{x}{\tan x} = \frac{x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{x \cos x}{\sin x} = \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x と書き換えられる。
lim⁡x→0xsin⁡x=1\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 および lim⁡x→0cos⁡x=1\lim_{x \to 0} \cos x = 1 を利用する。
lim⁡x→0xtan⁡x=lim⁡x→0xsin⁡x⋅cos⁡x\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x
=lim⁡x→0xsin⁡x⋅lim⁡x→0cos⁡x= \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \cos x
=1⋅1=1= 1 \cdot 1 = 1

3. 最終的な答え

1

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