与えられた定積分を計算します。 $$ \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{1+x^4} dx $$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

$$\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{1+x^4} dx$$

2. 解き方の手順

まず、偶関数であることを利用して積分範囲を $-\infty$ から $\infty$ に変更します。

$$\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{1+x^4} dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{1+x^4} dx$$

次に、複素積分を用いて解きます。

$f(z) = \frac{z^2}{1+z^4}$ とします。

半円の積分路 $C$ を考えます。$C$ は実軸上の区間 $[-R, R]$ と、上半平面の半円 $C_R$ からなります。

$z^4 = -1$ の解は、$z = e^{i(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2})}$ for $k=0, 1, 2, 3$。

上半平面にあるのは $z_1 = e^{i\pi/4}$ と $z_2 = e^{i3\pi/4}$ です。

留数定理より、

$$\int_C f(z) dz = 2\pi i (Res(f, z_1) + Res(f, z_2))$$

$z_1 = e^{i\pi/4}$ における留数は、

$$Res(f, z_1) = \lim_{z \to z_1} (z - z_1) \frac{z^2}{1+z^4} = \lim_{z \to z_1} \frac{z^2}{(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)} = \frac{z_1^2}{4z_1^3} = \frac{1}{4z_1}$$

$$Res(f, z_1) = \frac{1}{4 e^{i\pi/4}} = \frac{1}{4} e^{-i\pi/4}$$

$z_2 = e^{i3\pi/4}$ における留数は、

$$Res(f, z_2) = \lim_{z \to z_2} (z - z_2) \frac{z^2}{1+z^4} = \lim_{z \to z_2} \frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_3)(z-z_4)} = \frac{z_2^2}{4z_2^3} = \frac{1}{4z_2}$$

$$Res(f, z_2) = \frac{1}{4 e^{i3\pi/4}} = \frac{1}{4} e^{-i3\pi/4}$$

したがって、

$$Res(f, z_1) + Res(f, z_2) = \frac{1}{4} (e^{-i\pi/4} + e^{-i3\pi/4}) = \frac{1}{4} (\cos(-\pi/4) + i\sin(-\pi/4) + \cos(-3\pi/4) + i\sin(-3\pi/4))$$

$$= \frac{1}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} (-i\sqrt{2}) = -i\frac{\sqrt{2}}{4}$$

$$\int_C f(z) dz = 2\pi i (-i\frac{\sqrt{2}}{4}) = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$$

$R \to \infty$ のとき、$\int_{C_R} f(z) dz \to 0$ であるので、

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{1+x^4} dx = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$$

したがって、

$$\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{1+x^4} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{\pi\sqrt{2}}{4}$$