与えられた定積分 $I = \int_{\log 2}^{\infty} e^{-\frac{1}{10}x} dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$I = \int_{\log 2}^{\infty} e^{-\frac{1}{10}x} dx$

の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int e^{-\frac{1}{10}x} dx$ を計算する。

$u = -\frac{1}{10}x$ とおくと、$du = -\frac{1}{10}dx$ より、$dx = -10 du$ となる。

したがって、

$\int e^{-\frac{1}{10}x} dx = \int e^u (-10) du = -10 \int e^u du = -10 e^u + C = -10 e^{-\frac{1}{10}x} + C$

となる。

次に、定積分の計算を行う。

$\int_{\log 2}^{\infty} e^{-\frac{1}{10}x} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{\log 2}^{b} e^{-\frac{1}{10}x} dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -10 e^{-\frac{1}{10}x} \right]_{\log 2}^{b}$

$= \lim_{b \to \infty} \left( -10 e^{-\frac{1}{10}b} - (-10 e^{-\frac{1}{10}\log 2}) \right) = \lim_{b \to \infty} \left( -10 e^{-\frac{1}{10}b} + 10 e^{-\frac{1}{10}\log 2} \right)$

ここで、$\lim_{b \to \infty} e^{-\frac{1}{10}b} = 0$ であるから、

$\int_{\log 2}^{\infty} e^{-\frac{1}{10}x} dx = 10 e^{-\frac{1}{10}\log 2} = 10 e^{\log 2^{-\frac{1}{10}}} = 10 \cdot 2^{-\frac{1}{10}} = 10 \cdot 2^{-0.1} = \frac{10}{2^{0.1}}$

3. 最終的な答え

$I = 10 \cdot 2^{-\frac{1}{10}} = \frac{10}{2^{0.1}}$