広義積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{x}{1-x}} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{x}{1-x}} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin^2 \theta$ と置換します。すると、$dx = 2 \sin \theta \cos \theta d\theta$ となります。また、積分区間は $x: 0 \to 1$ に対して $\theta: 0 \to \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{x}{1-x}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{1-\sin^2 \theta}} 2\sin \theta \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} 2\sin \theta \cos \theta d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} 2\sin \theta \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sin^2 \theta d\theta$

ここで、$\sin^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2}$ であるので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sin^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\frac{1-\cos 2\theta}{2} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2\theta) d\theta$

$= [\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \sin \pi) - (0 - \frac{1}{2} \sin 0) = \frac{\pi}{2} - 0 - 0 + 0 = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$