以下の6つの定積分の値を求める問題です。 a) $\int_{1}^{2} (x-\frac{1}{x})^2 dx$ b) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$ d) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$ e) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$ f) $\int_{0}^{1} e^{3x} dx$

1. 問題の内容

以下の6つの定積分の値を求める問題です。

a) $\int_{1}^{2} (x-\frac{1}{x})^2 dx$

b) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$

c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$

d) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$

e) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$

f) $\int_{0}^{1} e^{3x} dx$

2. 解き方の手順

a) $\int_{1}^{2} (x-\frac{1}{x})^2 dx$

まず、被積分関数を展開します。

$(x-\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

次に、積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}) dx = [\frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x}]_1^2$

積分範囲の値を代入します。

$(\frac{2^3}{3} - 2(2) - \frac{1}{2}) - (\frac{1^3}{3} - 2(1) - \frac{1}{1}) = (\frac{8}{3} - 4 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{3} - 2 - 1) = \frac{7}{3} - 1/2 - 1 = \frac{14 - 3 - 6}{6} = \frac{5}{6}$

b) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$

$\cos x$ の原始関数は $\sin x$ です。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$

c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$

$\frac{1}{x}$ の原始関数は $\ln |x|$ です。

したがって、

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln |x|]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$

d) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$

分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x} + \sqrt{x+1})(\sqrt{x} - \sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}}{x - (x+1)} = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$

したがって、

$\int_{0}^{1} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) dx = [\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} = (\frac{2}{3}(2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}) - (\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - 0) = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1) - \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{2} - 2 - 2}{3} = \frac{4\sqrt{2} - 4}{3}$

e) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$

$\sin 2x$ の原始関数は $-\frac{1}{2} \cos 2x$ です。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx = [-\frac{1}{2} \cos 2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} \cos(\pi) - (-\frac{1}{2} \cos(0)) = -\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

f) $\int_{0}^{1} e^{3x} dx$

$e^{3x}$ の原始関数は $\frac{1}{3} e^{3x}$ です。

したがって、

$\int_{0}^{1} e^{3x} dx = [\frac{1}{3} e^{3x}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} e^{0} = \frac{1}{3} (e^3 - 1)$

3. 最終的な答え

a) $\frac{5}{6}$

b) $1$

c) $1$

d) $\frac{4\sqrt{2} - 4}{3}$

e) $1$

f) $\frac{e^3 - 1}{3}$