与えられた関数の $x$ が $0$ に近づくときの極限をマクローリン展開を用いて計算し、その値が $2025$ であることを示す問題です。問題の式は以下です。 $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2025x) \sin x - x \cos x}{x^2} = 2025$

1. 問題の内容

与えられた関数の $x$ が $0$ に近づくときの極限をマクローリン展開を用いて計算し、その値が $2025$ であることを示す問題です。問題の式は以下です。

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2025x) \sin x - x \cos x}{x^2} = 2025$

2. 解き方の手順

$\sin x$ と $\cos x$ のマクローリン展開を利用します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

これらの展開を元の式に代入し、整理します。

$(1+2025x)\sin x = (1+2025x)(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots) = x - \frac{x^3}{6} + 2025x^2 - \frac{2025x^4}{6} + \cdots$

$x\cos x = x(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots) = x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} - \cdots$

したがって、

$(1 + 2025x) \sin x - x \cos x = (x - \frac{x^3}{6} + 2025x^2 - \frac{2025x^4}{6} + \cdots) - (x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} - \cdots)$

$= 2025x^2 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6})x^3 + O(x^4) = 2025x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)$

ここで、$O(x^4)$ は $x^4$ 以上の次数の項を表します。

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + 2025x) \sin x - x \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2025x^2 + \frac{1}{3}x^3 + O(x^4)}{x^2} = \lim_{x \to 0} (2025 + \frac{1}{3}x + O(x^2)) = 2025$

3. 最終的な答え

$2025$