与えられた定積分 $I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x \, dx$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x \, dx$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用います。

まず、$u = \sin x$, $dv = e^{-x} dx$ とおくと、$du = \cos x \, dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

したがって、

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - \int (-e^{-x}) \cos x \, dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx$

となります。

次に、$\int e^{-x} \cos x \, dx$ を計算します。$u = \cos x$, $dv = e^{-x} dx$ とおくと、$du = -\sin x \, dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

したがって、

$\int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - \int (-e^{-x})(-\sin x) \, dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx$

となります。

これらを合わせると、

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx$

$2 \int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x$

$\int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C$

となります。

したがって、

$I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} e^{-x} \sin x \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x)\right]_{0}^{b}$

$= \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{2} e^{-b} (\sin b + \cos b) - \left( -\frac{1}{2} e^{-0} (\sin 0 + \cos 0) \right) \right]$

$= \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{2} \frac{\sin b + \cos b}{e^{b}} + \frac{1}{2} \right]$

$|\sin b + \cos b| \le |\sin b| + |\cos b| \le 1 + 1 = 2$ なので、$\lim_{b \to \infty} \frac{\sin b + \cos b}{e^{b}} = 0$ となります。

したがって、

$I = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

となります。

3. 最終的な答え

$I = \frac{1}{2}$