以下の3つの極限値をマクローリン展開を用いて求める問題です。 a) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

はい、承知いたしました。マクローリン展開を用いて以下の極限を求める問題ですね。

1. 問題の内容

以下の3つの極限値をマクローリン展開を用いて求める問題です。

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

2. 解き方の手順

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x}$

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は、

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

と表されます。したがって、

$\frac{\log(1+x)}{x} = \frac{x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \cdots$

$x \to 0$ のとき、

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} (1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \cdots) = 1$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

$e^x$ のマクローリン展開は、

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$

と表されます。したがって、

$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$

$\frac{e^x - 1}{x} = \frac{x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots}{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^3}{4!} + \cdots$

$x \to 0$ のとき、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} (1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^3}{4!} + \cdots) = 1$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

$\sin x$ のマクローリン展開は、

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

と表されます。したがって、

$\frac{\sin x}{x} = \frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$

$x \to 0$ のとき、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} (1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots) = 1$

3. 最終的な答え

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$