問題は、定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{x}{1-x}} dx$ の値を計算することです。ただし、$t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ という変数変換を用いて計算します。このとき、$x = \frac{t^2}{t^2+1}$ であり、$x:0 \to 1$ のとき $t:0 \to \infty$ となります。また、$dx = -(\frac{1}{t^2+1})' dt$ が与えられています。

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{x}{1-x}} dx$ の値を計算することです。ただし、$t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ という変数変換を用いて計算します。このとき、$x = \frac{t^2}{t^2+1}$ であり、$x:0 \to 1$ のとき $t:0 \to \infty$ となります。また、$dx = -(\frac{1}{t^2+1})' dt$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた変数変換 $t = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ を用いて、積分を $t$ に関する積分に変換します。$x = \frac{t^2}{t^2+1}$ より、

$\sqrt{\frac{x}{1-x}} = t$ であり、

$dx = -\left(\frac{1}{t^2+1}\right)' dt = \frac{2t}{(t^2+1)^2}dt$

となるはずですが、画像には $dx = -(\frac{1}{t^2+1})' dt$と書かれています。

以降、画像に従い、$dx = -\left(\frac{1}{t^2+1}\right)' dt$として計算します。

元の積分は

$\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{x}{1-x}} dx = \int_{0}^{\infty} t \left(-\frac{1}{t^2+1}\right)' dt$

と書き換えられます。

部分積分を行うと、

$\int_{0}^{\infty} t \left(-\frac{1}{t^2+1}\right)' dt = \left[t \cdot \left(-\frac{1}{t^2+1}\right)\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -\frac{1}{t^2+1} dt$

となります。

$\lim_{t \to \infty} \frac{t}{t^2+1} = 0$ であり、$t=0$ のとき $\frac{t}{t^2+1}=0$ なので、

$\left[t \cdot \left(-\frac{1}{t^2+1}\right)\right]_{0}^{\infty} = 0$ となります。

したがって、積分は

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{t^2+1} dt = \left[\arctan(t)\right]_{0}^{\infty}$

となります。

$\arctan(\infty) = \frac{\pi}{2}$ であり、$\arctan(0) = 0$ なので、

$\left[\arctan(t)\right]_{0}^{\infty} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$