以下の3つの極限を求める問題です。 a) $\lim_{x\to 0} \frac{\cos 2x - 1}{x^2}$ b) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$ c) $\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3}$

はい、承知いたしました。マクローリン展開を用いて、次の極限を求めます。

1. 問題の内容

以下の3つの極限を求める問題です。

a) $\lim_{x\to 0} \frac{\cos 2x - 1}{x^2}$

b) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$

c) $\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3}$

2. 解き方の手順

マクローリン展開を利用して、それぞれの極限を計算します。

a) $\cos 2x$ のマクローリン展開は、$\cos u = 1 - \frac{u^2}{2!} + \frac{u^4}{4!} - \cdots$ であり、$u=2x$とすると、

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \cdots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots$

したがって、

$\cos 2x - 1 = -2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots$

$\frac{\cos 2x - 1}{x^2} = -2 + \frac{2}{3}x^2 - \cdots$

$\lim_{x\to 0} \frac{\cos 2x - 1}{x^2} = \lim_{x\to 0} (-2 + \frac{2}{3}x^2 - \cdots) = -2$

b) $e^x$ のマクローリン展開は、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

したがって、

$e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots$

$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x\to 0} (\frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots) = \frac{1}{2}$

c) $\log(1+x)$ のマクローリン展開は、$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

したがって、

$\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

$\frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{3} - \frac{x}{4} + \cdots$

$\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3} = \lim_{x\to 0} (\frac{1}{3} - \frac{x}{4} + \cdots) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

a) $\lim_{x\to 0} \frac{\cos 2x - 1}{x^2} = -2$

b) $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}$

c) $\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{3}$