与えられた6つの関数について、それぞれ微分を求めます。

はい、承知いたしました。与えられた関数を微分します。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数について、それぞれ微分を求めます。

2. 解き方の手順

各関数について、微分を計算する手順を以下に示します。

(1) $y = (x - 1)^2$

合成関数の微分公式を用います。$u = x - 1$ とおくと、$y = u^2$ です。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = 2u$、$\frac{du}{dx} = 1$ なので、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot 1 = 2(x - 1) = 2x - 2$

(2) $y = (3x - 1)^3$

合成関数の微分公式を用います。$u = 3x - 1$ とおくと、$y = u^3$ です。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = 3u^2$、$\frac{du}{dx} = 3$ なので、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot 3 = 9(3x - 1)^2 = 9(9x^2 - 6x + 1) = 81x^2 - 54x + 9$

(3) $y = (2x - 1)(x - 2)^2$

積の微分公式と合成関数の微分公式を用います。

$u = 2x - 1$、$v = (x - 2)^2$ とおくと、$y = uv$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}v + u\frac{dv}{dx}$

$\frac{du}{dx} = 2$

$v = (x - 2)^2$ より、$w = x - 2$ とおくと、$v = w^2$ です。$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$ より、

$\frac{dv}{dw} = 2w$、$\frac{dw}{dx} = 1$ なので、$\frac{dv}{dx} = 2w \cdot 1 = 2(x - 2)$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2(x - 2)^2 + (2x - 1) \cdot 2(x - 2) = 2(x - 2)(x - 2 + 2x - 1) = 2(x - 2)(3x - 3) = 6(x - 2)(x - 1) = 6(x^2 - 3x + 2) = 6x^2 - 18x + 12$

(4) $y = (x^2 + 2x + 3)^2$

合成関数の微分公式を用います。$u = x^2 + 2x + 3$ とおくと、$y = u^2$ です。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = 2u$、$\frac{du}{dx} = 2x + 2$ なので、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot (2x + 2) = 2(x^2 + 2x + 3)(2x + 2) = 4(x^2 + 2x + 3)(x + 1) = 4(x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x + 3x + 3) = 4(x^3 + 3x^2 + 5x + 3) = 4x^3 + 12x^2 + 20x + 12$

(5) $y = \frac{1}{(2x^3 + 3)^2}$

合成関数の微分公式と商の微分公式を用います。$y = (2x^3 + 3)^{-2}$ と書き換えます。$u = 2x^3 + 3$ とおくと、$y = u^{-2}$ です。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = -2u^{-3}$、$\frac{du}{dx} = 6x^2$ なので、

$\frac{dy}{dx} = -2u^{-3} \cdot 6x^2 = -12x^2(2x^3 + 3)^{-3} = \frac{-12x^2}{(2x^3 + 3)^3}$

(6) $y = (x + \frac{1}{x})^3$

合成関数の微分公式を用います。$u = x + \frac{1}{x}$ とおくと、$y = u^3$ です。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{dy}{du} = 3u^2$、$\frac{du}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot (1 - \frac{1}{x^2}) = 3(x + \frac{1}{x})^2 (1 - \frac{1}{x^2}) = 3(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2})(1 - \frac{1}{x^2}) = 3(x^2 - 1 + 2 - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^4}) = 3(x^2 + 1 - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^4}) = 3x^2 + 3 - \frac{3}{x^2} - \frac{3}{x^4}$

3. 最終的な答え

(1) $2x - 2$

(2) $81x^2 - 54x + 9$

(3) $6x^2 - 18x + 12$

(4) $4x^3 + 12x^2 + 20x + 12$

(5) $\frac{-12x^2}{(2x^3 + 3)^3}$

(6) $3x^2 + 3 - \frac{3}{x^2} - \frac{3}{x^4}$