与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx$ を計算します。この積分は広義積分なので、極限を用いて計算します。画像の解法では、$t = \cos x$ とおき、部分分数分解を用いて積分を計算しています。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx$ を計算します。この積分は広義積分なので、極限を用いて計算します。画像の解法では、$t = \cos x$ とおき、部分分数分解を用いて積分を計算しています。

2. 解き方の手順

まず、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx$ と変形します。次に、$t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x dx$ となり、$x = 0$ のとき $t = 1$、$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $t = 0$ となります。したがって、積分は

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x} dx = \int_{1}^{0} \frac{-dt}{1 - t^2} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{1 - t^2}$$

となります。ここで、$t=1$ の時、積分が発散するため、$y \to 1^-$ の極限をとります。

$$\int_{0}^{1} \frac{dt}{1 - t^2} = \lim_{y \to 1^-} \int_{0}^{y} \frac{dt}{1 - t^2}$$

$\frac{1}{1 - t^2}$ を部分分数分解すると、$\frac{1}{1 - t^2} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t}\right)$ となります。したがって、

$$\lim_{y \to 1^-} \int_{0}^{y} \frac{dt}{1 - t^2} = \lim_{y \to 1^-} \int_{0}^{y} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t}\right) dt$$

積分を実行すると、

$$\lim_{y \to 1^-} \frac{1}{2} \int_{0}^{y} \left(\frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t}\right) dt = \lim_{y \to 1^-} \frac{1}{2} \left[ -\log |1 - t| + \log |1 + t| \right]_{0}^{y}$$

$$= \lim_{y \to 1^-} \frac{1}{2} \left( -\log |1 - y| + \log |1 + y| - (-\log |1 - 0| + \log |1 + 0|) \right)$$

$$= \lim_{y \to 1^-} \frac{1}{2} \left( \log |1 + y| - \log |1 - y| \right) = \frac{1}{2} \lim_{y \to 1^-} \log \left| \frac{1 + y}{1 - y} \right|$$

$y \to 1^-$ のとき、$1 - y \to 0^+$ なので、$\frac{1 + y}{1 - y} \to \infty$ となります。よって、$\log \left| \frac{1 + y}{1 - y} \right| \to \infty$ となり、積分は発散します。

3. 最終的な答え

$\infty$ (発散)