(1) 関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 32$ の導関数 $f'(x)$ を求め、極大値および極小値をとる $x$ の値とそれぞれの値を求める。 (2) 関数 $y = -x^2 + 2x + 3$ のグラフと $x$ 軸との交点 A, B の座標を求める。グラフと線分 AB で囲まれた部分の面積を求め、さらに、$x \geq 0$ の部分の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 32$ の導関数 $f'(x)$ を求め、極大値および極小値をとる $x$ の値とそれぞれの値を求める。

(2) 関数 $y = -x^2 + 2x + 3$ のグラフと $x$ 軸との交点 A, B の座標を求める。グラフと線分 AB で囲まれた部分の面積を求め、さらに、$x \geq 0$ の部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3)$

よって、1には3, 2には6, 3には9が入る。

$f'(x) = 3(x-3)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 3, -1$ のとき。

増減表を考えると、

$x = -1$ で極大値、 $x = 3$ で極小値をとる。

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 32 = -1 - 3 + 9 + 32 = 37$

$f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 32 = 27 - 27 - 27 + 32 = 5$

よって、4には-1, 56には37, 7には3, 8には5が入る。

(2)

(i)

$y = -x^2 + 2x + 3$ と $x$ 軸との交点を求める。

$-x^2 + 2x + 3 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0$

$x = 3, -1$

よって、A(-1, 0), B(3, 0)

9には1, 10には3が入る。

(ii)

グラフと線分ABで囲まれた部分の面積は、定積分で計算できる。

$S = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}$

$S = \left( -\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + 3(3) \right) - \left( -\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1) \right)$

$S = (-9 + 9 + 9) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) = 9 - \left( \frac{1}{3} - 2 \right) = 9 - \frac{1}{3} + 2 = 11 - \frac{1}{3} = \frac{33 - 1}{3} = \frac{32}{3}$

よって、1112には32, 13には3が入る。

(iii)

求める面積は、$\int_{0}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx$ で求められる。

$\int_{0}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x \right]_{0}^{3} = -\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + 3(3) - 0 = -9 + 9 + 9 = 9$

よって、14には9が入る。

3. 最終的な答え

(1)

1: 3

2: 6

3: 9

4: -1

56: 37

7: 3

8: 5

(2)

(i)

9: 1

10: 3

(ii)

1112: 32

13: 3

(iii)

14: 9