(1) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を $R\sin(\theta + \alpha)$ (ただし $R>0, 0 \le \alpha < 2\pi$) の形に合成する。 (2) $0 \le \theta < 2\pi$ における $f(\theta) = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ のとりうる値の最大値を求める。 (3) $0 \le \theta < 2\pi$ において $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta > 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を $R\sin(\theta + \alpha)$ (ただし $R>0, 0 \le \alpha < 2\pi$) の形に合成する。

(2) $0 \le \theta < 2\pi$ における $f(\theta) = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ のとりうる値の最大値を求める。

(3) $0 \le \theta < 2\pi$ において $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta > 1$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を合成する。

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha) = R(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) = R\cos\alpha\sin\theta + R\sin\alpha\cos\theta$

係数を比較すると、

$R\cos\alpha = 1$

$R\sin\alpha = \sqrt{3}$

両辺を2乗して足し合わせると、

$R^2\cos^2\alpha + R^2\sin^2\alpha = 1^2 + (\sqrt{3})^2$

$R^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 1+3 = 4$

$R^2 = 4$

$R > 0$ より $R = 2$

$\cos\alpha = \frac{1}{2}$

$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって $\alpha = \frac{\pi}{3}$

したがって、$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

(2) $f(\theta) = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$

$0 \le \theta < 2\pi$ なので、$\frac{\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{3} < 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3})$ の最大値は $1$

したがって $f(\theta)$ の最大値は $2 \times 1 = 2$

(3) $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta > 1$

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) > 1$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{3}) > \frac{1}{2}$

$t = \theta + \frac{\pi}{3}$ とおくと、$\sin t > \frac{1}{2}$

$\frac{\pi}{6} < t < \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} < \theta < \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\frac{\pi}{6} < \theta+\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$.

$\frac{\pi}{6}<\theta+\frac{\pi}{3}<\frac{5\pi}{6}$より$-\frac{\pi}{6}<\theta<\frac{\pi}{2}$.

よって$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$.

$\theta$の範囲は$\frac{\pi}{6} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$ を満たす$\theta$である.

$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$.

$2\pi - \frac{\pi}{6} < \theta+\frac{\pi}{3} < 2\pi + \frac{5\pi}{6}$.

範囲は、$\frac{\pi}{6} < \theta+\frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$.

$\frac{11\pi}{6}-\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}$.

$\frac{\pi}{6}<\theta+\frac{\pi}{3}<\frac{5\pi}{6}$.

$-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{6}<\theta+\frac{\pi}{3}<\frac{5\pi}{6}$.

$-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2}$.

$\frac{\pi}{6} < \theta + \frac{\pi}{3} < \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} < \theta < \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3}$

$-\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$より $\frac{\pi}{6} < \theta+\frac{\pi}{3}<\frac{5\pi}{6}$すなわち $-\frac{\pi}{6}<\theta<\frac{\pi}{2}$.

$\frac{\pi}{3}<\frac{5\pi}{6}$であり$0 \le \theta < 2\pi$なので$-\frac{\pi}{6}<\theta < \frac{\pi}{2}$.

$0<\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}<\theta + \frac{\pi}{3}<\frac{5\pi}{6}$.

$\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}$.

よって$\theta$は$\frac{\pi}{6}$から$\frac{5\pi}{6}$の範囲。

$\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$, $\theta + \frac{\pi}{3}$は$\frac{\pi}{6}$から$\frac{5\pi}{6}$.

3. 最終的な答え

1: 2

2: 3

3: 2

4: 0

5: π/2

6: 5

7: 6

8: π

9: 2