次の関数を微分せよ。 (1) $y=x^{-3}$ (2) $y=\frac{1}{x^4}$ (3) $y=\frac{x^2-x-2}{x^3}$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y=x^{-3}$

(2) $y=\frac{1}{x^4}$

(3) $y=\frac{x^2-x-2}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $y=x^{-3}$

$y$を$x$で微分するには、べき乗のルールを使用します。

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

$\frac{dy}{dx}=-3x^{-3-1}=-3x^{-4}$

(2) $y=\frac{1}{x^4}$

まず、$y$を$x^{-4}$と書き換えます。

$y=x^{-4}$

$y$を$x$で微分するには、べき乗のルールを使用します。

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

$\frac{dy}{dx}=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}$

$x^{-5}$を$\frac{1}{x^5}$と書き換えます。

$\frac{dy}{dx}=-\frac{4}{x^5}$

(3) $y=\frac{x^2-x-2}{x^3}$

$y$を次のように書き換えます。

$y=\frac{x^2}{x^3}-\frac{x}{x^3}-\frac{2}{x^3}=x^{-1}-x^{-2}-2x^{-3}$

$y$を$x$で微分するには、べき乗のルールを使用します。

$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$

$\frac{dy}{dx}=-1x^{-1-1}-(-2)x^{-2-1}-2(-3)x^{-3-1}$

$\frac{dy}{dx}=-x^{-2}+2x^{-3}+6x^{-4}$

$x^{-2}$を$\frac{1}{x^2}$, $x^{-3}$を$\frac{1}{x^3}$, $x^{-4}$を$\frac{1}{x^4}$と書き換えます。

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}+\frac{6}{x^4}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-x^2+2x+6}{x^4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx}=-3x^{-4}$

(2) $\frac{dy}{dx}=-\frac{4}{x^5}$

(3) $\frac{dy}{dx}=\frac{-x^2+2x+6}{x^4}$