関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$ の極値を求め、そのグラフを描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4$ の極値を求め、そのグラフを描く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは極値をとる $x$ の候補です。

$3x^2 - 12x + 9 = 0$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

$(x - 1)(x - 3) = 0$

よって、$x = 1, 3$

次に、$f''(x)$ を求め、$x = 1, 3$ における $f''(x)$ の符号を調べます。

$f''(x) = 6x - 12$

$x = 1$ のとき、$f''(1) = 6(1) - 12 = -6 < 0$ なので、$x = 1$ で極大値をとります。

$x = 3$ のとき、$f''(3) = 6(3) - 12 = 6 > 0$ なので、$x = 3$ で極小値をとります。

それぞれの極値を求めます。

$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 4 = 1 - 6 + 9 - 4 = 0$

$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) - 4 = 27 - 54 + 27 - 4 = -4$

したがって、極大値は $(1, 0)$、極小値は $(3, -4)$ です。

最後に、グラフを描きます。極大値と極小値をプロットし、関数の形を考慮して滑らかな曲線で結びます。x=0での値はf(0)=-4なので、(0,-4)を通る。xが大きい時、関数は無限大に発散し、xが小さい時、関数は負の無限大に発散する。

3. 最終的な答え

極大値: $(1, 0)$

極小値: $(3, -4)$

グラフは上記の説明に基づき描画してください。