関数 $A_x(x, y - \frac{\Delta y}{2})$ を近似するとどうなるか。

解析学テイラー展開偏微分近似
2025/7/13

1. 問題の内容

関数 Ax(x,yΔy2)A_x(x, y - \frac{\Delta y}{2}) を近似するとどうなるか。

2. 解き方の手順

テイラー展開を用いて、Ax(x,yΔy2)A_x(x, y - \frac{\Delta y}{2}) を近似します。
Ax(x,y)A_x(x,y)yy に関するテイラー展開は以下のようになります。
Ax(x,yΔy2)=Ax(x,y)Δy2Axy(x,y)+12(Δy2)22Axy2(x,y)A_x(x, y - \frac{\Delta y}{2}) = A_x(x, y) - \frac{\Delta y}{2} \frac{\partial A_x}{\partial y}(x, y) + \frac{1}{2} (\frac{\Delta y}{2})^2 \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2}(x, y) - \cdots
通常、Δy\Delta y が十分小さい場合、高次の項を無視して、一次の項までで近似します。
Ax(x,yΔy2)Ax(x,y)Δy2Axy(x,y)A_x(x, y - \frac{\Delta y}{2}) \approx A_x(x, y) - \frac{\Delta y}{2} \frac{\partial A_x}{\partial y}(x, y)

3. 最終的な答え

Ax(x,yΔy2)Ax(x,y)Δy2Axy(x,y)A_x(x, y - \frac{\Delta y}{2}) \approx A_x(x, y) - \frac{\Delta y}{2} \frac{\partial A_x}{\partial y}(x, y)

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