関数 $A_x(x, y - \frac{\Delta y}{2})$ を近似するとどうなるか。解析学テイラー展開偏微分近似2025/7/131. 問題の内容関数 Ax(x,y−Δy2)A_x(x, y - \frac{\Delta y}{2})Ax(x,y−2Δy) を近似するとどうなるか。2. 解き方の手順テイラー展開を用いて、Ax(x,y−Δy2)A_x(x, y - \frac{\Delta y}{2})Ax(x,y−2Δy) を近似します。Ax(x,y)A_x(x,y)Ax(x,y) の yyy に関するテイラー展開は以下のようになります。Ax(x,y−Δy2)=Ax(x,y)−Δy2∂Ax∂y(x,y)+12(Δy2)2∂2Ax∂y2(x,y)−⋯A_x(x, y - \frac{\Delta y}{2}) = A_x(x, y) - \frac{\Delta y}{2} \frac{\partial A_x}{\partial y}(x, y) + \frac{1}{2} (\frac{\Delta y}{2})^2 \frac{\partial^2 A_x}{\partial y^2}(x, y) - \cdotsAx(x,y−2Δy)=Ax(x,y)−2Δy∂y∂Ax(x,y)+21(2Δy)2∂y2∂2Ax(x,y)−⋯通常、Δy\Delta yΔy が十分小さい場合、高次の項を無視して、一次の項までで近似します。Ax(x,y−Δy2)≈Ax(x,y)−Δy2∂Ax∂y(x,y)A_x(x, y - \frac{\Delta y}{2}) \approx A_x(x, y) - \frac{\Delta y}{2} \frac{\partial A_x}{\partial y}(x, y)Ax(x,y−2Δy)≈Ax(x,y)−2Δy∂y∂Ax(x,y)3. 最終的な答えAx(x,y−Δy2)≈Ax(x,y)−Δy2∂Ax∂y(x,y)A_x(x, y - \frac{\Delta y}{2}) \approx A_x(x, y) - \frac{\Delta y}{2} \frac{\partial A_x}{\partial y}(x, y)Ax(x,y−2Δy)≈Ax(x,y)−2Δy∂y∂Ax(x,y)