与えられた2つの積分公式を証明すること。 (1) $\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \log |\frac{x-a}{x+a}| + C$ (ただし、$a \neq 0$) (2) $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ (ただし、$a \neq 0$)

1. 問題の内容

与えられた2つの積分公式を証明すること。

(1) $\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \log |\frac{x-a}{x+a}| + C$ (ただし、$a \neq 0$)

(2) $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ (ただし、$a \neq 0$)

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \log |\frac{x-a}{x+a}| + C$ の証明

まず、被積分関数を部分分数分解する。

$\frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{(x-a)(x+a)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x+a}$

両辺に $(x-a)(x+a)$ を掛けると、

$1 = A(x+a) + B(x-a)$

$x = a$ を代入すると $1 = 2aA$ より $A = \frac{1}{2a}$

$x = -a$ を代入すると $1 = -2aB$ より $B = -\frac{1}{2a}$

したがって、

$\frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \left( \frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a} \right)$

積分を計算すると、

$\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \int \left( \frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a} \right) dx = \frac{1}{2a} (\log |x-a| - \log |x+a|) + C = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| + C$

(2) $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ の証明

$x = a \tan \theta$ と置換する。すると、$dx = a \sec^2 \theta d\theta$ となる。

$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \int \frac{1}{(a \tan \theta)^2 + a^2} a \sec^2 \theta d\theta = \int \frac{a \sec^2 \theta}{a^2 (\tan^2 \theta + 1)} d\theta = \int \frac{a \sec^2 \theta}{a^2 \sec^2 \theta} d\theta = \frac{1}{a} \int d\theta = \frac{1}{a} \theta + C$

ここで $\theta = \arctan \frac{x}{a}$ なので、

$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \log |\frac{x-a}{x+a}| + C$

(2) $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$