与えられた関数 a) $f(x) = \sin(2x)$、b) $f(x) = \log(1+x)$、c) $f(x) = c^{2x}$、d) $f(x) = 2^x$ のマクローリン展開を $n=3$ の項まで求めよ。ただし、$c$ は定数である。

1. 問題の内容

与えられた関数 a) $f(x) = \sin(2x)$、b) $f(x) = \log(1+x)$、c) $f(x) = c^{2x}$、d) $f(x) = 2^x$ のマクローリン展開を $n=3$ の項まで求めよ。ただし、$c$ は定数である。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りでテイラー展開したもので、次の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

各関数について、3階までの導関数を計算し、$x=0$ での値を求め、上記の式に代入します。

a) $f(x) = \sin(2x)$

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(x) = 2\cos(2x)$ -> $f'(0) = 2\cos(0) = 2$

$f''(x) = -4\sin(2x)$ -> $f''(0) = -4\sin(0) = 0$

$f'''(x) = -8\cos(2x)$ -> $f'''(0) = -8\cos(0) = -8$

したがって、

$\sin(2x) = 0 + 2x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-8}{3!}x^3 + \dots$

$\sin(2x) \approx 2x - \frac{4}{3}x^3$

b) $f(x) = \log(1+x)$

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$ -> $f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ -> $f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$ -> $f'''(0) = \frac{2}{(1+0)^3} = 2$

したがって、

$\log(1+x) = 0 + x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \dots$

$\log(1+x) \approx x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$

c) $f(x) = c^{2x}$

$f(0) = c^{2(0)} = c^0 = 1$

$f'(x) = 2(\ln c) c^{2x}$ -> $f'(0) = 2(\ln c) c^0 = 2\ln c$

$f''(x) = 4(\ln c)^2 c^{2x}$ -> $f''(0) = 4(\ln c)^2 c^0 = 4(\ln c)^2$

$f'''(x) = 8(\ln c)^3 c^{2x}$ -> $f'''(0) = 8(\ln c)^3 c^0 = 8(\ln c)^3$

したがって、

$c^{2x} = 1 + (2\ln c)x + \frac{4(\ln c)^2}{2!}x^2 + \frac{8(\ln c)^3}{3!}x^3 + \dots$

$c^{2x} \approx 1 + 2(\ln c)x + 2(\ln c)^2 x^2 + \frac{4}{3}(\ln c)^3 x^3$

d) $f(x) = 2^x$

$f(0) = 2^0 = 1$

$f'(x) = (\ln 2) 2^x$ -> $f'(0) = (\ln 2) 2^0 = \ln 2$

$f''(x) = (\ln 2)^2 2^x$ -> $f''(0) = (\ln 2)^2 2^0 = (\ln 2)^2$

$f'''(x) = (\ln 2)^3 2^x$ -> $f'''(0) = (\ln 2)^3 2^0 = (\ln 2)^3$

したがって、

$2^x = 1 + (\ln 2)x + \frac{(\ln 2)^2}{2!}x^2 + \frac{(\ln 2)^3}{3!}x^3 + \dots$

$2^x \approx 1 + (\ln 2)x + \frac{1}{2}(\ln 2)^2 x^2 + \frac{1}{6}(\ln 2)^3 x^3$

3. 最終的な答え

a) $\sin(2x) \approx 2x - \frac{4}{3}x^3$

b) $\log(1+x) \approx x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$

c) $c^{2x} \approx 1 + 2(\ln c)x + 2(\ln c)^2 x^2 + \frac{4}{3}(\ln c)^3 x^3$

d) $2^x \approx 1 + (\ln 2)x + \frac{1}{2}(\ln 2)^2 x^2 + \frac{1}{6}(\ln 2)^3 x^3$