2重積分 $\iint_D xy^2 dxdy$ を、領域 $D = \{(x, y); 0 \le x \le 1, 0 \le y \le \sqrt{1-x^2}\}$ 上で計算します。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D xy^2 dxdy$ を、領域 $D = \{(x, y); 0 \le x \le 1, 0 \le y \le \sqrt{1-x^2}\}$ 上で計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた領域 $D$ を確認します。$0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le \sqrt{1-x^2}$ なので、$D$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ の第1象限の部分です。

重積分を計算するために、まず $y$ について積分し、次に $x$ について積分します。

$\iint_D xy^2 dxdy = \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} xy^2 dy dx$

まず、内側の積分を計算します。

$\int_0^{\sqrt{1-x^2}} xy^2 dy = x \int_0^{\sqrt{1-x^2}} y^2 dy = x \left[ \frac{1}{3} y^3 \right]_0^{\sqrt{1-x^2}} = x \cdot \frac{1}{3} (1-x^2)^{3/2} = \frac{1}{3} x (1-x^2)^{3/2}$

次に、外側の積分を計算します。

$\int_0^1 \frac{1}{3} x (1-x^2)^{3/2} dx$

ここで、置換積分を行います。$u = 1 - x^2$ とおくと、$du = -2x dx$ なので、$x dx = -\frac{1}{2} du$ です。また、$x = 0$ のとき $u = 1$ で、$x = 1$ のとき $u = 0$ です。

$\int_0^1 \frac{1}{3} x (1-x^2)^{3/2} dx = \frac{1}{3} \int_1^0 u^{3/2} \left( -\frac{1}{2} du \right) = -\frac{1}{6} \int_1^0 u^{3/2} du = \frac{1}{6} \int_0^1 u^{3/2} du = \frac{1}{6} \left[ \frac{2}{5} u^{5/2} \right]_0^1 = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} (1^{5/2} - 0^{5/2}) = \frac{1}{15}$

3. 最終的な答え

$\iint_D xy^2 dxdy = \frac{1}{15}$