次の3つの関数を積分する問題です。 (1) $\cos^2 x$ (2) $\cos 2x \cos 4x$ (3) $\sin(2x+1)$

1. 問題の内容

次の3つの関数を積分する問題です。

(1) $\cos^2 x$

(2) $\cos 2x \cos 4x$

(3) $\sin(2x+1)$

2. 解き方の手順

(1) $\cos^2 x$の積分

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より、$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ と変形できます。

したがって、

$\int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2x) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(2) $\cos 2x \cos 4x$の積分

積和の公式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B))$ を利用します。

$\cos 2x \cos 4x = \frac{1}{2} (\cos(2x+4x) + \cos(2x-4x)) = \frac{1}{2} (\cos 6x + \cos (-2x)) = \frac{1}{2} (\cos 6x + \cos 2x)$

したがって、

$\int \cos 2x \cos 4x \, dx = \int \frac{1}{2} (\cos 6x + \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\cos 6x + \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{6} \sin 6x + \frac{1}{2} \sin 2x) + C = \frac{1}{12} \sin 6x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(3) $\sin(2x+1)$の積分

置換積分を利用します。

$u = 2x + 1$ とすると、$du = 2 \, dx$, つまり $dx = \frac{1}{2} \, du$ となります。

$\int \sin(2x+1) \, dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \sin u \, du = \frac{1}{2} (-\cos u) + C = -\frac{1}{2} \cos(2x+1) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(2) $\int \cos 2x \cos 4x \, dx = \frac{1}{12} \sin 6x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(3) $\int \sin(2x+1) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x+1) + C$