関数 $f(x)$ が2回微分可能なとき、ロピタルの定理を用いて極限 $$ \lim_{h\to 0} \frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2} $$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が2回微分可能なとき、ロピタルの定理を用いて極限

$$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}$$

を求める問題です。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を使うために、まず $h \to 0$ のとき、分子と分母がともに 0 になることを確認します。

分子は $f(x+0) - 2f(x+0) + f(x) = f(x) - 2f(x) + f(x) = 0$ となり、分母は $0^2 = 0$ となるため、不定形 $\frac{0}{0}$ です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

まず、分子と分母をそれぞれ $h$ で微分します。

分子の微分：

$$\frac{d}{dh} [f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)] = 2f'(x+2h)-2f'(x+h)$$

分母の微分：

$$\frac{d}{dh} [h^2] = 2h$$

したがって、

$$\lim_{h\to 0} \frac{2f'(x+2h)-2f'(x+h)}{2h} = \lim_{h\to 0} \frac{f'(x+2h)-f'(x+h)}{h}$$

再び、$h \to 0$ のとき、分子と分母がともに 0 になることを確認します。

分子は $f'(x+0)-f'(x+0) = f'(x) - f'(x) = 0$ となり、分母は 0 となるため、不定形 $\frac{0}{0}$ です。したがって、再度ロピタルの定理を適用できます。

分子と分母をそれぞれ $h$ で微分します。

分子の微分：

$$\frac{d}{dh} [f'(x+2h)-f'(x+h)] = 2f''(x+2h)-f''(x+h)$$

分母の微分：

$$\frac{d}{dh} [h] = 1$$

したがって、

$$\lim_{h\to 0} \frac{2f''(x+2h)-f''(x+h)}{1} = 2f''(x) - f''(x) = f''(x)$$

3. 最終的な答え

$$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2} = f''(x)$$