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$\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ を示す問題です。

解析学逆三角関数三角関数の相互関係証明
2025/7/12

1. 問題の内容

cos⁡−1x+sin⁡−1x=π2\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} を示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、cos⁡−1x=θ\cos^{-1}x = \theta と置きます。
このとき、cos⁡θ=x\cos\theta = x となります。
また、θ\theta の範囲は 0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi です。
cos⁡θ=x\cos\theta = x のとき、x=sin⁡(π2−θ)x = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) と書き換えることができます。
なぜなら、三角関数の相互関係から cos⁡θ=sin⁡(π2−θ)\cos\theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) が成り立つからです。
ここで、両辺の sin⁡−1\sin^{-1} を取ると、
sin⁡−1x=sin⁡−1(sin⁡(π2−θ))=π2−θ\sin^{-1}x = \sin^{-1}(\sin(\frac{\pi}{2} - \theta)) = \frac{\pi}{2} - \theta となります。
よって、sin⁡−1x=π2−θ\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \theta が得られます。
これを変形すると、θ=π2−sin⁡−1x\theta = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x となります。
最初に cos⁡−1x=θ\cos^{-1}x = \theta と置いたので、
cos⁡−1x=π2−sin⁡−1x\cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x となります。
したがって、cos⁡−1x+sin⁡−1x=π2\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} が示されました。

3. 最終的な答え

cos⁡−1x+sin⁡−1x=π2\cos^{-1}x + \sin^{-1}x = \frac{\pi}{2}

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