与えられた10個の積分を計算します。

承知いたしました。画像に示された積分問題のうち、(1) $\int x \sin 3x \, dx$、(2) $\int \arctan x \, dx$、(3) $\int x \log x \, dx$、(4) $\int e^x \sin 2x \, dx$、(5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$、(6) $\int \frac{1}{x^2-3x-10} \, dx$、(7) $\int \frac{1}{x^2-3x+4} \, dx$、(8) $\int \frac{1}{x^3-4x^2+5x} \, dx$、(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$、(10) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた10個の積分を計算します。

2. 解き方の手順

各積分について、適切な積分手法（部分積分、置換積分、部分分数分解など）を選択して解きます。

(1) $\int x \sin 3x \, dx$

部分積分を利用します。$u = x$, $dv = \sin 3x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{3} \cos 3x$ となります。

$\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x - \int -\frac{1}{3} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{3} \int \cos 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

(2) $\int \arctan x \, dx$

部分積分を利用します。$u = \arctan x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$, $v = x$ となります。

$\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1+x^2} \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

(3) $\int x \log x \, dx$

部分積分を利用します。$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{1}{2} x^2$ となります。

$\int x \log x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \int \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{4} x^2 + C$

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx$

部分積分を2回利用します。$I = \int e^x \sin 2x \, dx$ とします。

$u = \sin 2x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、$du = 2 \cos 2x \, dx$, $v = e^x$ となります。

$I = e^x \sin 2x - \int e^x (2 \cos 2x) \, dx = e^x \sin 2x - 2 \int e^x \cos 2x \, dx$

次に、$\int e^x \cos 2x \, dx$ を部分積分します。$u = \cos 2x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、$du = -2 \sin 2x \, dx$, $v = e^x$ となります。

$\int e^x \cos 2x \, dx = e^x \cos 2x - \int e^x (-2 \sin 2x) \, dx = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx = e^x \cos 2x + 2I$

したがって、$I = e^x \sin 2x - 2(e^x \cos 2x + 2I) = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x - 4I$

$5I = e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x)$ より、$I = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$

(5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx$

三角関数置換を利用します。$x = \sin \theta$ とすると、$dx = \cos \theta \, d\theta$, $\sqrt{1-x^2} = \cos \theta$ となります。

$\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \int \cos \theta \cdot \cos \theta \, d\theta = \int \cos^2 \theta \, d\theta = \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta + C = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + C = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$

(6) $\int \frac{1}{x^2-3x-10} \, dx$

部分分数分解を利用します。$x^2 - 3x - 10 = (x-5)(x+2)$ なので、$\frac{1}{x^2-3x-10} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+2}$ と置きます。

$1 = A(x+2) + B(x-5)$ となり、$x = 5$ のとき $1 = 7A$, $A = \frac{1}{7}$、$x = -2$ のとき $1 = -7B$, $B = -\frac{1}{7}$

$\int \frac{1}{x^2-3x-10} \, dx = \int \left( \frac{1/7}{x-5} - \frac{1/7}{x+2} \right) \, dx = \frac{1}{7} \int \left( \frac{1}{x-5} - \frac{1}{x+2} \right) \, dx = \frac{1}{7} (\ln |x-5| - \ln |x+2|) + C = \frac{1}{7} \ln \left| \frac{x-5}{x+2} \right| + C$

(7) $\int \frac{1}{x^2-3x+4} \, dx$

平方完成します。$x^2 - 3x + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

$\int \frac{1}{x^2-3x+4} \, dx = \int \frac{1}{(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}} \, dx = \int \frac{1}{(x - \frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{7}}{2})^2} \, dx$

$u = x - \frac{3}{2}$ とすると $du = dx$ なので、$\int \frac{1}{u^2 + (\frac{\sqrt{7}}{2})^2} \, du = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{u}{\frac{\sqrt{7}}{2}} \right) + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2u}{\sqrt{7}} \right) + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2(x-\frac{3}{2})}{\sqrt{7}} \right) + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x-3}{\sqrt{7}} \right) + C$

(8) $\int \frac{1}{x^3-4x^2+5x} \, dx$

部分分数分解を利用します。$x^3 - 4x^2 + 5x = x(x^2 - 4x + 5)$ なので、$\frac{1}{x^3-4x^2+5x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2-4x+5}$ と置きます。

$1 = A(x^2-4x+5) + (Bx+C)x = (A+B)x^2 + (-4A+C)x + 5A$

$A+B = 0$, $-4A+C = 0$, $5A = 1$ より、$A = \frac{1}{5}$, $B = -\frac{1}{5}$, $C = \frac{4}{5}$

$\int \frac{1}{x^3-4x^2+5x} \, dx = \int \left( \frac{1/5}{x} + \frac{(-1/5)x + 4/5}{x^2-4x+5} \right) \, dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} \, dx + \frac{1}{5} \int \frac{-x+4}{x^2-4x+5} \, dx = \frac{1}{5} \ln |x| + \frac{1}{5} \int \frac{-x+4}{x^2-4x+5} \, dx$

$x^2 - 4x + 5 = (x-2)^2 + 1$ であり、$\int \frac{-x+4}{(x-2)^2+1} dx = \int \frac{-(x-2)+2}{(x-2)^2+1} dx$. $u = x-2$ とすると $\int \frac{-u+2}{u^2+1}du = \int \frac{-u}{u^2+1}du + 2 \int \frac{1}{u^2+1}du = -\frac{1}{2} \ln(u^2+1) + 2 \arctan u = -\frac{1}{2} \ln((x-2)^2+1) + 2 \arctan(x-2) = -\frac{1}{2} \ln(x^2-4x+5) + 2 \arctan(x-2)$

Therefore, $\int \frac{1}{x^3-4x^2+5x}dx = \frac{1}{5} \ln |x| + \frac{1}{5}[-\frac{1}{2} \ln(x^2-4x+5) + 2 \arctan(x-2)] + C = \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{10} \ln(x^2-4x+5) + \frac{2}{5} \arctan(x-2) + C$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$

$\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \int \csc x \, dx = \ln |\csc x - \cot x| + C$ または $\ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

(10) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx$

三角関数置換を利用します。$x = \sinh t$ とすると、$dx = \cosh t \, dt$, $\sqrt{1+x^2} = \cosh t$ となります。

$\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \int \cosh t \cdot \cosh t \, dt = \int \cosh^2 t \, dt = \int \frac{1 + \cosh 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sinh 2t + C = \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \sinh t \cosh t + C = \frac{1}{2} \operatorname{arcsinh} x + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C = \frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

(2) $\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

(3) $\int x \log x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{4} x^2 + C$

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$

(5) $\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$

(6) $\int \frac{1}{x^2-3x-10} \, dx = \frac{1}{7} \ln \left| \frac{x-5}{x+2} \right| + C$

(7) $\int \frac{1}{x^2-3x+4} \, dx = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \left( \frac{2x-3}{\sqrt{7}} \right) + C$

(8) $\int \frac{1}{x^3-4x^2+5x}dx = \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{10} \ln(x^2-4x+5) + \frac{2}{5} \arctan(x-2) + C$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \ln |\csc x - \cot x| + C$ または $\ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

(10) $\int \sqrt{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x + \sqrt{1+x^2}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1+x^2} + C$