関数 $f(x) = e^{-x} - e^{-3x}$ の極値をすべて求めよ。

はい、承知いたしました。

問題5、問題6、問題8を解きます。

**問題5**

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-x} - e^{-3x}$ の極値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

極値を求めるには、まず導関数を計算し、それが0になる点を求めます。その後、2階微分を計算し、その符号を調べることで、極大値か極小値かを判定します。

まず、導関数 $f'(x)$ を計算します。

$$f'(x) = -e^{-x} + 3e^{-3x}$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$$-e^{-x} + 3e^{-3x} = 0$$

$$e^{-x} = 3e^{-3x}$$

両辺に $e^{3x}$ をかけると、

$$e^{2x} = 3$$

$$2x = \ln{3}$$

$$x = \frac{\ln{3}}{2}$$

次に、2階微分 $f''(x)$ を計算します。

$$f''(x) = e^{-x} - 9e^{-3x}$$

$x = \frac{\ln{3}}{2}$ における $f''(x)$ の値を計算します。

$$f''\left(\frac{\ln{3}}{2}\right) = e^{-\frac{\ln{3}}{2}} - 9e^{-3\frac{\ln{3}}{2}} = e^{\ln{3^{-1/2}}} - 9e^{\ln{3^{-3/2}}} = 3^{-1/2} - 9 \cdot 3^{-3/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{9}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{3}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$$

$f''\left(\frac{\ln{3}}{2}\right) < 0$ なので、$x = \frac{\ln{3}}{2}$ で極大値をとります。

極大値は

$$f\left(\frac{\ln{3}}{2}\right) = e^{-\frac{\ln{3}}{2}} - e^{-3\frac{\ln{3}}{2}} = 3^{-1/2} - 3^{-3/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$$

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ は $x = \frac{\ln{3}}{2}$ で極大値 $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ をとる。

**問題6**

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = y^3 + x^2 + xy - 2y^2 - 5x - y$ が点 $(2, 1)$ で極値をとるかどうか調べよ。極値をとる場合は極大か極小かも判定し、その値も求めること。

2. 解き方の手順

まず、偏導関数 $f_x$ と $f_y$ を計算します。

$$f_x = 2x + y - 5$$

$$f_y = 3y^2 + x - 4y - 1$$

点 $(2, 1)$ での偏導関数の値を計算します。

$$f_x(2, 1) = 2(2) + 1 - 5 = 4 + 1 - 5 = 0$$

$$f_y(2, 1) = 3(1)^2 + 2 - 4(1) - 1 = 3 + 2 - 4 - 1 = 0$$

$f_x(2, 1) = 0$ かつ $f_y(2, 1) = 0$ なので、点 $(2, 1)$ は停留点です。

次に、2階偏導関数を計算します。

$$f_{xx} = 2$$

$$f_{yy} = 6y - 4$$

$$f_{xy} = 1$$

点 $(2, 1)$ における2階偏導関数の値を計算します。

$$f_{xx}(2, 1) = 2$$

$$f_{yy}(2, 1) = 6(1) - 4 = 2$$

$$f_{xy}(2, 1) = 1$$

判別式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算します。

$$D(2, 1) = (2)(2) - (1)^2 = 4 - 1 = 3$$

$D(2, 1) > 0$ かつ $f_{xx}(2, 1) > 0$ なので、点 $(2, 1)$ で極小値をとります。

極小値は

$$f(2, 1) = (1)^3 + (2)^2 + (2)(1) - 2(1)^2 - 5(2) - (1) = 1 + 4 + 2 - 2 - 10 - 1 = -6$$

3. 最終的な答え

関数 $f(x, y)$ は点 $(2, 1)$ で極小値 $-6$ をとる。

**問題8**

1. 問題の内容

$f(x, y) = x^2 + xy$ とする。$x(t), y(t)$ を $R$ 上微分可能な1変数関数とし、$g(t) = f(x(t), y(t))$ とする。このとき、$x(0), y(0), x'(0), y'(0)$ のうち必要なものを用いて $g'(0)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を用いて $g'(t)$ を求めます。

$$g'(t) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$

偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$ を計算します。

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = x$$

したがって、

$$g'(t) = (2x(t) + y(t))x'(t) + x(t)y'(t)$$

$g'(0)$ を求めます。

$$g'(0) = (2x(0) + y(0))x'(0) + x(0)y'(0)$$

3. 最終的な答え

$g'(0) = (2x(0) + y(0))x'(0) + x(0)y'(0)$