周期が4の関数 $f(x)$ が与えられている。この関数をフーリエ級数展開せよ。 $f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$

1. 問題の内容

周期が4の関数 $f(x)$ が与えられている。この関数をフーリエ級数展開せよ。

$f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$

2. 解き方の手順

フーリエ級数展開は次のように表される。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + b_n \sin(\frac{n\pi x}{L}))$

ここで、$L$ は周期の半分である。この問題の場合、$L = 2$ である。

また、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はそれぞれ次のように計算される。

$a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx$

$a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{L}) dx$

$b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx$

まず、$a_0$ を計算する。

$a_0 = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) dx = \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} -2 dx + \int_{0}^{2} 2 dx) = \frac{1}{2} ([-2x]_{-2}^{0} + [2x]_{0}^{2}) = \frac{1}{2} (0 - (-2 \times -2) + (2 \times 2 - 0)) = \frac{1}{2} (-4 + 4) = 0$

次に、$a_n$ を計算する。

$a_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx = \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} -2 \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx + \int_{0}^{2} 2 \cos(\frac{n\pi x}{2}) dx)$

$a_n = \frac{1}{2} ([-2 \cdot \frac{2}{n\pi} \sin(\frac{n\pi x}{2})]_{-2}^{0} + [2 \cdot \frac{2}{n\pi} \sin(\frac{n\pi x}{2})]_{0}^{2})$

$a_n = \frac{1}{2} ([-\frac{4}{n\pi} \sin(\frac{n\pi x}{2})]_{-2}^{0} + [\frac{4}{n\pi} \sin(\frac{n\pi x}{2})]_{0}^{2})$

$a_n = \frac{1}{2} (-\frac{4}{n\pi} (\sin(0) - \sin(-n\pi)) + \frac{4}{n\pi} (\sin(n\pi) - \sin(0))) = \frac{1}{2} (-\frac{4}{n\pi} (0 - 0) + \frac{4}{n\pi} (0 - 0)) = 0$

最後に、$b_n$ を計算する。

$b_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx = \frac{1}{2} (\int_{-2}^{0} -2 \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx + \int_{0}^{2} 2 \sin(\frac{n\pi x}{2}) dx)$

$b_n = \frac{1}{2} ([-2 \cdot (-\frac{2}{n\pi}) \cos(\frac{n\pi x}{2})]_{-2}^{0} + [2 \cdot (-\frac{2}{n\pi}) \cos(\frac{n\pi x}{2})]_{0}^{2})$

$b_n = \frac{1}{2} ([\frac{4}{n\pi} \cos(\frac{n\pi x}{2})]_{-2}^{0} + [-\frac{4}{n\pi} \cos(\frac{n\pi x}{2})]_{0}^{2})$

$b_n = \frac{1}{2} (\frac{4}{n\pi} (\cos(0) - \cos(-n\pi)) - \frac{4}{n\pi} (\cos(n\pi) - \cos(0)))$

$b_n = \frac{1}{2} (\frac{4}{n\pi} (1 - (-1)^n) - \frac{4}{n\pi} ((-1)^n - 1)) = \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) = \begin{cases} \frac{4}{n\pi} & (n: \text{奇数}) \\ 0 & (n: \text{偶数}) \end{cases}$

したがって、$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(\frac{n\pi x}{2}) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{4}{(2k+1)\pi} \sin(\frac{(2k+1)\pi x}{2})$

3. 最終的な答え

$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{4}{(2k+1)\pi} \sin(\frac{(2k+1)\pi x}{2})$