与えられた3つの関数 a) $log(\frac{2x}{x^2+1})$, b) $log(\frac{cos^2x}{e^{x^2}})$, c) $log(2x)$ をそれぞれ微分する。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 a) $log(\frac{2x}{x^2+1})$, b) $log(\frac{cos^2x}{e^{x^2}})$, c) $log(2x)$ をそれぞれ微分する。

2. 解き方の手順

a) $y = log(\frac{2x}{x^2+1})$

まず、対数の性質を用いて関数を簡単にする。

$y = log(2x) - log(x^2+1)$

次に、それぞれの項を微分する。

$\frac{d}{dx}log(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx}log(x^2+1) = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} - \frac{2x}{x^2+1} = \frac{x^2+1-2x^2}{x(x^2+1)} = \frac{1-x^2}{x(x^2+1)}$

b) $y = log(\frac{cos^2x}{e^{x^2}})$

対数の性質を用いて関数を簡単にする。

$y = log(cos^2x) - log(e^{x^2}) = 2log(cosx) - x^2$

それぞれの項を微分する。

$\frac{d}{dx}2log(cosx) = 2 \cdot \frac{1}{cosx} \cdot (-sinx) = -2tanx$

$\frac{d}{dx}(-x^2) = -2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -2tanx - 2x = -2(tanx+x)$

c) $y = log(2x)$

$\frac{d}{dx}log(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

a) $\frac{1-x^2}{x(x^2+1)}$

b) $-2(tanx+x)$

c) $\frac{1}{x}$