与えられた10個の積分問題を解く問題です。それぞれの問題は以下の通りです。 (1) $\int x \sin 3x \, dx$ (2) $\int \arctan x \, dx$ (3) $\int x \log x \, dx$ (4) $\int e^x \sin 2x \, dx$ (5) $\int \sqrt{1 - x^2} \, dx$ (6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$ (7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} \, dx$ (8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx$ (9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$ (10) $\int \sqrt{1 + x^2} \, dx$

はい、承知いたしました。画像に示された積分問題について、それぞれ解説と解答を提供します。

1. 問題の内容

与えられた10個の積分問題を解く問題です。それぞれの問題は以下の通りです。

(1) $\int x \sin 3x \, dx$

(2) $\int \arctan x \, dx$

(3) $\int x \log x \, dx$

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx$

(5) $\int \sqrt{1 - x^2} \, dx$

(6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$

(7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} \, dx$

(8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$

(10) $\int \sqrt{1 + x^2} \, dx$

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、解き方の手順を説明します。

(1) $\int x \sin 3x \, dx$: 部分積分法を用いる。

$u = x, dv = \sin 3x \, dx$ とすると、$du = dx, v = -\frac{1}{3} \cos 3x$。

$\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3}x \cos 3x - \int (-\frac{1}{3} \cos 3x) \, dx = -\frac{1}{3}x \cos 3x + \frac{1}{3} \int \cos 3x \, dx = -\frac{1}{3}x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

(2) $\int \arctan x \, dx$: 部分積分法を用いる。

$u = \arctan x, dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx, v = x$。

$\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

(3) $\int x \log x \, dx$: 部分積分法を用いる。

$u = \log x, dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{1}{2}x^2$。

$\int x \log x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + C$

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx$: 部分積分法を2回用いる。

$I = \int e^x \sin 2x \, dx$

$u = \sin 2x, dv = e^x \, dx$ とすると、$du = 2\cos 2x \, dx, v = e^x$。

$I = e^x \sin 2x - \int e^x (2 \cos 2x) \, dx = e^x \sin 2x - 2 \int e^x \cos 2x \, dx$

$u = \cos 2x, dv = e^x \, dx$ とすると、$du = -2\sin 2x \, dx, v = e^x$。

$I = e^x \sin 2x - 2 (e^x \cos 2x - \int e^x (-2\sin 2x) \, dx) = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x - 4 \int e^x \sin 2x \, dx = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x - 4I$

$5I = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x$

$I = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$

(5) $\int \sqrt{1 - x^2} \, dx$: $x = \sin \theta$ と置換する。

$x = \sin \theta$ とすると、$dx = \cos \theta \, d\theta$。

$\int \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta \, d\theta = \int \cos^2 \theta \, d\theta = \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta + C = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + C = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2} + C$

(6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$: 部分分数分解。

$\frac{1}{x^2 - 3x - 10} = \frac{1}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 2}$

$1 = A(x + 2) + B(x - 5)$

$x = 5$ のとき $1 = 7A \implies A = \frac{1}{7}$

$x = -2$ のとき $1 = -7B \implies B = -\frac{1}{7}$

$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx = \frac{1}{7} \int (\frac{1}{x - 5} - \frac{1}{x + 2}) \, dx = \frac{1}{7} (\ln |x - 5| - \ln |x + 2|) + C = \frac{1}{7} \ln |\frac{x - 5}{x + 2}| + C$

(7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} \, dx$: 平方完成。

$x^2 - 3x + 4 = (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}$

$\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} \, dx = \int \frac{1}{(x - \frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{7}}{2})^2} \, dx = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \frac{2x - 3}{\sqrt{7}} + C$

(8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx$: 部分分数分解。

$x^3 - 4x^2 + 5x = x(x^2 - 4x + 5) = x((x - 2)^2 + 1)$

$\frac{1}{x(x^2 - 4x + 5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 - 4x + 5}$

$1 = A(x^2 - 4x + 5) + (Bx + C)x$

$1 = (A + B)x^2 + (-4A + C)x + 5A$

$A + B = 0, -4A + C = 0, 5A = 1$

$A = \frac{1}{5}, B = -\frac{1}{5}, C = \frac{4}{5}$

$\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx = \int (\frac{1}{5x} + \frac{-\frac{1}{5}x + \frac{4}{5}}{x^2 - 4x + 5}) \, dx = \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{10} \int \frac{2x - 8}{x^2 - 4x + 5} dx = \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{10} \int \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5} dx - \frac{1}{10}\int \frac{-4}{x^2-4x+5}dx$

$= \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{10} \ln |x^2 - 4x + 5| + \frac{2}{5}\int \frac{1}{(x-2)^2 + 1}dx = \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{10} \ln |x^2 - 4x + 5| + \frac{2}{5}\arctan(x-2) + C$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$:

$\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \int \csc x \, dx = \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} \, dx = \int \frac{\sin x}{1 - \cos^2 x} \, dx$.

$t = \cos x$ とすると、$dt = -\sin x \, dx$。

$\int \frac{1}{\sin x} \, dx = -\int \frac{1}{1 - t^2} \, dt = -\int \frac{1}{(1 - t)(1 + t)} \, dt = -\frac{1}{2} \int (\frac{1}{1 - t} + \frac{1}{1 + t}) \, dt = \frac{1}{2} \ln |1 - t| - \frac{1}{2} \ln |1 + t| + C = \frac{1}{2} \ln |\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}| + C = \frac{1}{2} \ln |\frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}| + C = \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

(10) $\int \sqrt{1 + x^2} \, dx$: $x = \sinh t$ と置換する。

$x = \sinh t$ とすると、$dx = \cosh t \, dt$。

$\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \int \sqrt{1 + \sinh^2 t} \cosh t \, dt = \int \cosh^2 t \, dt = \int \frac{1 + \cosh 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sinh 2t + C = \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \sinh t \cosh t + C = \frac{1}{2} \mathrm{arcsinh} \, x + \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2} + C$

もしくは、$\frac{1}{2} \ln (x + \sqrt{1 + x^2}) + \frac{1}{2}x \sqrt{1+x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3}x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

(2) $\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C$

(3) $\int x \log x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + C$

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$

(5) $\int \sqrt{1 - x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2} + C$

(6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx = \frac{1}{7} \ln |\frac{x - 5}{x + 2}| + C$

(7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} \, dx = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \frac{2x - 3}{\sqrt{7}} + C$

(8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx = \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{10} \ln |x^2 - 4x + 5| + \frac{2}{5}\arctan(x-2) + C$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

(10) $\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \mathrm{arcsinh} \, x + \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2} + C = \frac{1}{2} \ln (x + \sqrt{1 + x^2}) + \frac{1}{2}x \sqrt{1+x^2} + C$