次の3つの不等式を示す問題です。 a) $\frac{x}{x+1} \leq \log(1+x) \quad (x \geq 0)$ b) $1+x \leq e^x \leq \frac{1}{1-x} \quad (x < 1)$ c) $\frac{x}{1+x^2} \leq \arctan x < x \quad (x > 0)$

1. 問題の内容

次の3つの不等式を示す問題です。

a) $\frac{x}{x+1} \leq \log(1+x) \quad (x \geq 0)$

b) $1+x \leq e^x \leq \frac{1}{1-x} \quad (x < 1)$

c) $\frac{x}{1+x^2} \leq \arctan x < x \quad (x > 0)$

2. 解き方の手順

a) $f(x) = \log(1+x) - \frac{x}{x+1}$ とおく。

$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(x+1) - x}{(x+1)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} = \frac{1+x - 1}{(1+x)^2} = \frac{x}{(1+x)^2}$

$x \geq 0$ で $f'(x) \geq 0$ であるから、$f(x)$ は単調増加。

$f(0) = \log(1) - 0 = 0$ より、$f(x) \geq 0$ ($x \geq 0$)

したがって、$\frac{x}{x+1} \leq \log(1+x)$

b) まず、$1+x \leq e^x$ を示す。$f(x) = e^x - (1+x)$ とおく。

$f'(x) = e^x - 1$

$x > 0$ のとき、$f'(x) > 0$ であり、$x < 0$ のとき、$f'(x) < 0$ である。

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で最小値をとる。

$f(0) = e^0 - (1+0) = 1 - 1 = 0$ より、$f(x) \geq 0$ となり、$1+x \leq e^x$ が成り立つ。

次に、$e^x \leq \frac{1}{1-x}$ を示す。ただし、$x < 1$とする。

$f(x) = \frac{1}{1-x} - e^x$ とおく。

$f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} - e^x$

$f(0) = 1 - 1 = 0$

$x=0$の近傍で考える。$e^x \geq 1+x$ であるから、$f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} - e^x \geq \frac{1}{(1-x)^2} - \frac{1}{(1-x)} = \frac{1-(1-x)}{(1-x)^2} = \frac{x}{(1-x)^2}$

$x < 1$なので、この不等号が正しい。

したがって、$x>0$で $f'(x)>0$、$x<0$ で $f'(x)<0$ なので、$x=0$で最小値$0$を取ることがわかる。

$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+...$

$e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$

したがって$e^x \leq \frac{1}{1-x}$が成り立つ

c) まず、$\frac{x}{1+x^2} \leq \arctan x$ を示す。

$f(x) = \arctan x - \frac{x}{1+x^2}$ とおく。

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2} - \frac{(1+x^2) - x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - (1-x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{2x^2}{(1+x^2)^2}$

$x > 0$ で $f'(x) \geq 0$ であるから、$f(x)$ は単調増加。

$f(0) = \arctan 0 - 0 = 0$ より、$f(x) \geq 0$ ($x \geq 0$)

したがって、$\frac{x}{1+x^2} \leq \arctan x$

次に、$\arctan x < x$ を示す。

$f(x) = x - \arctan x$ とおく。

$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - 1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$

$x > 0$ で $f'(x) > 0$ であるから、$f(x)$ は単調増加。

$f(0) = 0 - \arctan 0 = 0$ より、$f(x) > 0$ ($x > 0$)

したがって、$\arctan x < x$

3. 最終的な答え

a) $\frac{x}{x+1} \leq \log(1+x) \quad (x \geq 0)$

b) $1+x \leq e^x \leq \frac{1}{1-x} \quad (x < 1)$

c) $\frac{x}{1+x^2} \leq \arctan x < x \quad (x > 0)$