円 $x^2 + y^2 = a^2$ 上を時計回りと逆向きに一周する経路 $C$ に沿った線積分 $\int_C (x\,dy - y\,dx)$ を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = a^2$ 上を時計回りと逆向きに一周する経路 $C$ に沿った線積分 $\int_C (x\,dy - y\,dx)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、グリーンの定理を利用します。グリーンの定理とは、平面領域 $D$ の境界 $C$ を反時計回りに一周する線積分に対して、次の関係が成り立つというものです。

$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy$

与えられた線積分 $\int_C (x\,dy - y\,dx)$ とグリーンの定理の左辺を比較すると、$P = -y$ かつ $Q = x$ であることがわかります。したがって、

$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1$

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (-y)}{\partial y} = -1$

これらをグリーンの定理の右辺に代入すると、

$\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy = \iint_D (1 - (-1)) dx\,dy = \iint_D 2 \, dx\,dy = 2 \iint_D dx\,dy$

ここで、$D$ は円 $x^2 + y^2 = a^2$ の内部領域なので、$\iint_D dx\,dy$ は領域 $D$ の面積を表します。円の面積は $\pi a^2$ であるので、

$2 \iint_D dx\,dy = 2 \pi a^2$

3. 最終的な答え

$\int_C (x\,dy - y\,dx) = 2\pi a^2$