はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

**問題1.** マクローリン展開を用いて次の極限を求めよ。

a) $\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - 1}{x^2}$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$

c) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3}$

ヒント: (a), (b): $n=3$ まで, (c): $n=4$ までのマクローリン展開を考える。

**問題2.** 定積分 $\int_0^1 x^2 dx$ の値を求めよ。

**問題3.** 次の定積分の値を求めよ。

a) $\int_1^2 (x - \frac{1}{x})^2 dx$

b) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$

c) $\int_1^e \frac{1}{x} dx$

d) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx$

e) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx$

f) $\int_0^1 e^{3x} dx$

以下、各問題の解き方と答えです。

**問題1.**

a) $\cos 2x$ のマクローリン展開は、$\cos x$ の展開 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$ から $x$ を $2x$ に置き換えて得られます。つまり、

$\cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \dots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \dots$

したがって、

$\cos 2x - 1 = -2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \dots$

$\frac{\cos 2x - 1}{x^2} = -2 + \frac{2}{3}x^2 - \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - 1}{x^2} = -2$

解き方の手順:

1. $\cos 2x$ のマクローリン展開を求める。

2. 与えられた式に代入して整理する。

3. 極限を計算する。

最終的な答え: -2

b) $e^x$ のマクローリン展開は、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

したがって、

$e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots$

$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}$

解き方の手順:

1. $e^x$ のマクローリン展開を求める。

2. 与えられた式に代入して整理する。

3. 極限を計算する。

最終的な答え: 1/2

c) $\log(1+x)$ のマクローリン展開は、$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

したがって、

$\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

$\frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{3} - \frac{x}{4} + \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{3}$

解き方の手順:

1. $\log(1+x)$ のマクローリン展開を求める。

2. 与えられた式に代入して整理する。

3. 極限を計算する。

最終的な答え: 1/3

**問題2.**

$\int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

解き方の手順:

1. 積分を計算する。

2. 積分範囲の端点を代入する。

最終的な答え: 1/3

**問題3.**

a) $\int_1^2 (x - \frac{1}{x})^2 dx = \int_1^2 (x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x} \right]_1^2 = (\frac{8}{3} - 4 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{3} - 2 - 1) = \frac{7}{3} - 1 - \frac{1}{2} = \frac{14 - 6 - 3}{6} = \frac{5}{6}$

最終的な答え: 5/6

b) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

最終的な答え: 1

c) $\int_1^e \frac{1}{x} dx = [\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$

最終的な答え: 1

d) $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} dx = \int_0^1 \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})} dx = \int_0^1 \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{x+1-x} dx = \int_0^1 (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) dx = \left[ \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \frac{2}{3} (2^{\frac{3}{2}} - 1) - \frac{2}{3} (1 - 0) = \frac{2}{3} (2\sqrt{2} - 1 - 1) = \frac{4\sqrt{2} - 4}{3}$

最終的な答え: $\frac{4\sqrt{2} - 4}{3}$

e) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x dx = \left[ -\frac{1}{2}\cos 2x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} \cos \pi - (-\frac{1}{2} \cos 0) = -\frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

最終的な答え: 1

f) $\int_0^1 e^{3x} dx = \left[ \frac{1}{3}e^{3x} \right]_0^1 = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3}e^0 = \frac{1}{3}e^3 - \frac{1}{3} = \frac{e^3 - 1}{3}$

最終的な答え: $\frac{e^3 - 1}{3}$