$1 < t < e$を満たす実数$t$に対して、xy平面上の4点(1,0), (e,0), (e,1), (t, logt)を頂点とする四角形の面積Sを求める問題。また、$1 < t < e$の範囲で$t$が動くときの$S$の取り得る値の範囲を求める問題。

1. 問題の内容

$1 < t < e$を満たす実数$t$に対して、xy平面上の4点(1,0), (e,0), (e,1), (t, logt)を頂点とする四角形の面積Sを求める問題。また、$1 < t < e$の範囲で$t$が動くときの$S$の取り得る値の範囲を求める問題。

2. 解き方の手順

四角形を二つの三角形に分割し、それぞれの面積を計算する。

三角形(1,0)(e,0)(e,1)の面積は$\frac{1}{2}(e-1) \times 1 = \frac{1}{2}(e-1)$。

三角形(1,0)(e,1)(t, logt)の面積は、ベクトルを利用して計算する。

ベクトル$\vec{a} = (e-1, 1)$、ベクトル$\vec{b} = (t-1, \log t)$。

三角形の面積は$\frac{1}{2} |(e-1)\log t - (t-1)|$

したがって、四角形の面積$S$は、$S = \frac{1}{2}(e-1) + \frac{1}{2} |(e-1)\log t - (t-1)|$。

$t>1$より、$\log t > 0$。また、$e > t$より、$e-t > 0$、よって$e-1 > t-1 > 0$。

$S = \frac{1}{2} (e-1) - \frac{1}{2} ((e-1)\log t - (t-1)) = \frac{1}{2} (e-1) + \frac{1}{2} ((t-1) - (e-1) \log t)$

$S = \frac{1}{2} (e-1) + \frac{1}{2} (t - 1 - (e-1)\log t)$

$S = \frac{1}{2} (e-2 + t - (e-1)\log t)$

面積Sは、

$S = \frac{1}{2} t - \frac{1}{2} (e-1) \log t + \frac{e-2}{2}$

$t=e$のとき、$S = \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}(e-1) + \frac{e-2}{2} = \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}e + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e - 1 = \frac{e-1}{2}$

$t=1$のとき、$S = \frac{1}{2} (e-1) + \frac{1}{2} (1 - 1 - (e-1) \times 0) = \frac{1}{2}(e-1)$.

$t=e$の時、$S = \frac{1}{2}e - \frac{1}{2}(e-1) + \frac{e-2}{2} = \frac{e-1}{2}$

$t=1$の時、$S = \frac{1}{2}$.

面積$S = \frac{1}{2}(t - (e-1)\log t) + \frac{1}{2} (e-2)$

$t=e$で最大値$\frac{1}{2} (e - (e-1)) + \frac{e-2}{2} = \frac{1}{2} (e-e+1+e-2) = \frac{e-1}{2}$

$t=1$で最小値$\frac{1}{2}$.

$\frac{1}{2} < S \le \frac{1}{2}(e-1)$.

したがって、

1: 4

2: t

3: (e-2)/2

4: 1/2

5: 1/2

6: e

7: -1

3. 最終的な答え

1: 0

2: 5

3: 3

4: 1

5: 4

6: 0

7: 8

四角形の面積Sは、$\frac{1}{2} t - \frac{1}{2} (e-1) \log t + \frac{e-2}{2}$

$t$が$1<t<e$の範囲で動くとき、$S$の取り得る値の範囲は、$\frac{1}{2} < S \le \frac{1}{2}(e-1)$.