円 $x^2 + y^2 = a^2$ 上を反時計回りに一周する積分 $\int_C (x dy - y dx)$ の値を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = a^2$ 上を反時計回りに一周する積分 $\int_C (x dy - y dx)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x= a \cos \theta$, $y = a \sin \theta$ とパラメータ表示する。このとき，$0 \leq \theta \leq 2\pi$ である。

次に、$dx$ と $dy$ を計算する。

$dx = -a \sin \theta d\theta$

$dy = a \cos \theta d\theta$

したがって、

$x dy - y dx = (a \cos \theta)(a \cos \theta d\theta) - (a \sin \theta)(-a \sin \theta d\theta) = a^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) d\theta = a^2 d\theta$

したがって、積分の値は

$\int_C (x dy - y dx) = \int_0^{2\pi} a^2 d\theta = a^2 \int_0^{2\pi} d\theta = a^2 [\theta]_0^{2\pi} = a^2(2\pi - 0) = 2\pi a^2$

3. 最終的な答え

$2\pi a^2$