関数 $f(x) = x^2 - 2x$ と $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$ が与えられ、$f(p) = g(\frac{1}{2})$ を満たす定数 $p$ が存在する。$y = f(x)$ のグラフを $C_1$、$y = g(x)$ のグラフを $C_2$ とする。 (1) $p$ の値を求める。 (2) $C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=p$ の右側の部分の面積を $S$ とする。$S$ を求める。 (3) $\frac{3}{2} < t < p$ を満たす定数 $t$ を考え、$C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=t$ の左側の部分の面積を $T$ とする。$T$ を $t$ を用いて表し、$T = 2S$ を満たす $t$ の値が $\frac{3}{2} < t < p$ においてただ一つ存在することを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2x$ と $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$ が与えられ、$f(p) = g(\frac{1}{2})$ を満たす定数 $p$ が存在する。$y = f(x)$ のグラフを $C_1$、$y = g(x)$ のグラフを $C_2$ とする。

(1) $p$ の値を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=p$ の右側の部分の面積を $S$ とする。$S$ を求める。

(3) $\frac{3}{2} < t < p$ を満たす定数 $t$ を考え、$C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=t$ の左側の部分の面積を $T$ とする。$T$ を $t$ を用いて表し、$T = 2S$ を満たす $t$ の値が $\frac{3}{2} < t < p$ においてただ一つ存在することを示す。

2. 解き方の手順

(1) $f(p) = g(\frac{1}{2})$ を計算する。

$f(p) = p^2 - 2p$

$g(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 + \frac{5}{2}(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8} + \frac{5}{4} = \frac{-1+10}{8} = \frac{9}{8}$

よって、$p^2 - 2p = \frac{9}{8}$ より、$8p^2 - 16p - 9 = 0$

$(4p+2)(2p-9/4) = (4p+2)(8p-9)=0$. よって，$p = -\frac{1}{2}$または$p = \frac{9}{8}$。

問題文より$p$は定数であり、解き方の流れから、$p>0$であるとわかるので、$p = 9/4$ となる。よって

$(4p+1)(2p-9)=0$より、$p=-1/4, 9/2$

$f(p) = p^2 - 2p = g(\frac{1}{2})$より、

$p^2 - 2p = -\frac{1}{2}(\frac{1}{4}) + \frac{5}{2}(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8} + \frac{5}{4} = \frac{9}{8}$

$8p^2 - 16p - 9 = 0$

$(4p+1)(2p-9) = 0$ よって、$p=-\frac{1}{4}$ または $p=\frac{9}{2}$

$p$が正の定数であることから、$p=\frac{9}{2}$

(2) $C_1$ と $C_2$ の交点を求める。

$f(x) = g(x)$ を解く。

$x^2 - 2x = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$

$\frac{3}{2}x^2 - \frac{9}{2}x = 0$

$3x^2 - 9x = 0$

$3x(x-3) = 0$

$x = 0, 3$

$C_2$が$C_1$の上にあることから

$S = \int_{9/2}^{3} (g(x) - f(x)) dx = \int_{9/2}^{3} (-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x) dx = [-\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2]_{9/2}^3$

$= (-\frac{27}{2} + \frac{81}{4}) - (-\frac{1}{2} (\frac{9}{2})^3 + \frac{9}{4}(\frac{9}{2})^2 ) = \frac{27}{4} - ( -\frac{729}{16} + \frac{729}{16} ) = \frac{27}{4}$.

(3) $T = \int_{t}^{0} f(x) - g(x)dx = \int_{t}^{0} \frac{3x}{2}(x-3)dx = \int_{0}^{t} -\frac{3}{2}(x^2-3x)dx = -\frac{3}{2}[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2]_0^t= -\frac{3}{2}(\frac{1}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2) = -\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2$

$T = 2S$ より、$2(\frac{27}{4}) = \frac{27}{2}$

$-\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2 = \frac{27}{2}$

$-2t^3 + 9t^2 = 54$

$2t^3 - 9t^2 + 54 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{9}{2}$

(2) $S = \frac{27}{4}$

(3) $T = -\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2$

$2t^3 - 9t^2 + 54 = 0$

$f(t) = 2t^3-9t^2+54=0$とおくと、$f'(t) = 6t^2 - 18t = 6t(t-3)$

増減表を書くと、$t<3$の時、減少、$33/2$の時$54>0$

$t = \frac{3}{2} < t < \frac{9}{2}=p$ においてただ一つ存在することを示す。

$\implies (t+3)(2t^2-15t+18)=0$

よって、$2(t-3)(2t^2-15t+18)=0$

$f'(t)=6t^2-18t=6t(t-3)$

$f(3)=-54+54=54=54>0$

$\frac{3}{2}<t<9/2$をみたす$x$

$y=-3$

$t=3$

$y=(-3)(-3)=+3$

$t=-3$が$2t^3-9t^2+54=0$の解になることがわかる

ということは、$t=0$で$f(t)$が一つ存在することをしめせばよい

$T = 2S$ を満たす $t$ の値は $\frac{3}{2} < t < p$ においてただ一つ存在する.