関数 $f(x)$ が微分可能なとき、以下の関数を微分せよ。 a) $f(2x+1)$ b) $(f(x))^3$ c) $\left(f(x) - \frac{1}{f(x)}\right)^2$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が微分可能なとき、以下の関数を微分せよ。

a) $f(2x+1)$

b) $(f(x))^3$

c) $\left(f(x) - \frac{1}{f(x)}\right)^2$

2. 解き方の手順

a) $f(2x+1)$ の微分

合成関数の微分法を用いる。$g(x) = 2x+1$ とおくと、与えられた関数は $f(g(x))$ となる。

合成関数の微分法より、$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ である。

$g'(x) = \frac{d}{dx}(2x+1) = 2$ であるから、

$\frac{d}{dx} f(2x+1) = f'(2x+1) \cdot 2 = 2f'(2x+1)$

b) $(f(x))^3$ の微分

合成関数の微分法を用いる。$g(x) = (f(x))^3$ とおくと、$g(x) = (f(x))^3$である。

$\frac{d}{dx} (f(x))^3 = 3(f(x))^2 \cdot f'(x)$

c) $\left(f(x) - \frac{1}{f(x)}\right)^2$ の微分

合成関数の微分法を用いる。

$g(x) = f(x) - \frac{1}{f(x)} = f(x) - (f(x))^{-1}$ とおくと、与えられた関数は $(g(x))^2$ となる。

$\frac{d}{dx} (g(x))^2 = 2g(x) \cdot g'(x)$

$g'(x) = f'(x) - (-1)(f(x))^{-2} \cdot f'(x) = f'(x) + \frac{f'(x)}{(f(x))^2} = f'(x)\left(1 + \frac{1}{(f(x))^2}\right)$

$\frac{d}{dx} \left(f(x) - \frac{1}{f(x)}\right)^2 = 2\left(f(x) - \frac{1}{f(x)}\right) \cdot f'(x)\left(1 + \frac{1}{(f(x))^2}\right)$

$= 2f'(x)\left(f(x) - \frac{1}{f(x)}\right)\left(1 + \frac{1}{(f(x))^2}\right)$

$= 2f'(x)\left(f(x) + \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{(f(x))^3}\right)$

$= 2f'(x)\left(f(x) - \frac{1}{f(x)}\right)\left(1+\frac{1}{f(x)^2}\right)$

$=2f'(x) \left( f(x) - \frac{1}{f(x)} + \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{(f(x))^3} \right)$

$= 2f'(x) \left(f(x) - \frac{1}{f(x)^3} \right)$

3. 最終的な答え

a) $2f'(2x+1)$

b) $3(f(x))^2 f'(x)$

c) $2f'(x)\left(f(x) - \frac{1}{f(x)}\right)\left(1 + \frac{1}{(f(x))^2}\right) = 2f'(x) \left(f(x) - \frac{1}{f(x)^3} \right)$