与えられた関数 $f(x) = \log_e{\frac{x}{\sqrt{e}}} \log_e{\frac{x^2}{e^4}}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f'(x)$ および $f''(x)$ を求めます。 (2) 関数 $f(x)$ の最小値を与える $x$ を求めます。 (3) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \log_e{\frac{x}{\sqrt{e}}} \log_e{\frac{x^2}{e^4}}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f'(x)$ および $f''(x)$ を求めます。

(2) 関数 $f(x)$ の最小値を与える $x$ を求めます。

(3) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を整理します。

$f(x) = \log_e{(x e^{-1/2})} \log_e{(x^2 e^{-4})} = (\log_e{x} - \frac{1}{2}) (2\log_e{x} - 4) = ( \log_e{x} - \frac{1}{2}) 2(\log_e{x} - 2)$

$f(x) = 2 (\log_e{x})^2 - 5 \log_e{x} + 2$

次に、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 2(2 \log_e{x} \cdot \frac{1}{x}) - 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4 \log_e{x} - 5}{x}$

$f'(x) = \frac{1}{x} (4 \log_e{x} - 5)$

したがって、$\frac{1}{x} (1 \log x - 2)$ ではありません．整理する前の式で微分すると，

$f(x) = (\log_e{x} - \frac{1}{2}) (2\log_e{x} - 4)$

$f'(x) = \frac{1}{x}(2 \log_e x - 4) + (\log_e x - \frac{1}{2})(\frac{2}{x})$

$= \frac{1}{x}(2 \log_e x - 4 + 2 \log_e x - 1)$

$= \frac{1}{x} (4 \log_e x - 5)$

$f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = \frac{x \cdot \frac{4}{x} - (4 \log_e{x} - 5) \cdot 1}{x^2} = \frac{4 - 4 \log_e{x} + 5}{x^2} = \frac{9 - 4 \log_e{x}}{x^2}$

$f''(x) = \frac{1}{x^2} (9 - 4 \log_e{x})$

(2) $f(x)$ が最小値をとる $x$ を求めるため、$f'(x) = 0$ となる $x$ を探します。

$f'(x) = \frac{4 \log_e{x} - 5}{x} = 0$

$4 \log_e{x} - 5 = 0$

$\log_e{x} = \frac{5}{4}$

$x = e^{\frac{5}{4}}$

$f''(e^{\frac{5}{4}}) = \frac{9 - 4 \cdot \frac{5}{4}}{(e^{\frac{5}{4}})^2} = \frac{9 - 5}{e^{\frac{5}{2}}} = \frac{4}{e^{\frac{5}{2}}} > 0$ なので、$x = e^{\frac{5}{4}}$ で極小値（最小値）をとります。

(3) 変曲点を求めるには、$f''(x) = 0$ となる $x$ を探します。

$f''(x) = \frac{9 - 4 \log_e{x}}{x^2} = 0$

$9 - 4 \log_e{x} = 0$

$\log_e{x} = \frac{9}{4}$

$x = e^{\frac{9}{4}}$

このとき $f(e^{\frac{9}{4}}) = 2 (\frac{9}{4})^2 - 5 (\frac{9}{4}) + 2 = 2 \cdot \frac{81}{16} - \frac{45}{4} + 2 = \frac{81}{8} - \frac{90}{8} + \frac{16}{8} = \frac{7}{8}$

したがって、変曲点は $(e^{\frac{9}{4}}, \frac{7}{8})$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{1}{x} (4 \log x - 5)$

$f''(x) = \frac{1}{x^2} (9 - 4 \log x)$

(2) $x = e^{\frac{5}{4}}$

(3) $(e^{\frac{9}{4}}, \frac{7}{8})$