$1 < t < e$ を満たす実数 $t$ について、 $xy$ 平面上の4点 $(1, 0), (e, 0), (e, 1), (t, \log t)$ を頂点とする四角形の面積 $S$ を求める問題。さらに、$1 < t < e$ の範囲で $t$ が動くとき、$S$ の取り得る値の範囲を求める問題。

1. 問題の内容

$1 < t < e$ を満たす実数 $t$ について、 $xy$ 平面上の4点 $(1, 0), (e, 0), (e, 1), (t, \log t)$ を頂点とする四角形の面積 $S$ を求める問題。さらに、$1 < t < e$ の範囲で $t$ が動くとき、$S$ の取り得る値の範囲を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、与えられた4点の座標から、四角形を台形と見て面積を計算する。台形の高さは $e - 1$ である。上底は $\log t$ であり、下底は1である。したがって、面積$S$は、

$$S = \frac{1}{2} (\log t + 1)(e-1) = \frac{1}{2}(e-1)\log t + \frac{1}{2}(e-1)$$

と表せる。

よって、 1は$\frac{1}{2}(e-1)$であり、選択肢③が該当する。

2は$\log t$係数であり、$\frac{1}{2}(e-1)$であり、選択肢③が該当する。

3は定数項であり、$\frac{1}{2}(e-1)$であり、選択肢③が該当する。

次に、$1 < t < e$ の範囲で $S$ の取り得る値を考える。$\log t$ は $t$ が増加すると増加する関数である。

$t=1$ のとき $\log t = \log 1 = 0$ である。このとき、$S = \frac{1}{2} (0+1)(e-1) = \frac{1}{2} (e-1)$.

$t=e$ のとき $\log t = \log e = 1$ である。このとき、$S = \frac{1}{2} (1+1)(e-1) = e-1$.

$S$ は $t$ に関して増加関数なので、

$\frac{1}{2}(e-1) < S \le (e-1)$.

したがって、4は$\frac{1}{2}(e-1)$なので、選択肢③が該当する。

5は$e-1$なので、選択肢⑧が該当する。

6と7は定数項がないので0となる。

3. 最終的な答え

1: ③

2: ③

3: ③

4: ③

5: ⑧

6: 0

7: 0