定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{x-x^2} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{x-x^2} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を平方完成させます。

$x - x^2 = -(x^2 - x) = -(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = -( (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} - (x - \frac{1}{2})^2$

したがって、

$\int_{0}^{1} \sqrt{x-x^2} \, dx = \int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1}{4} - (x - \frac{1}{2})^2} \, dx$

ここで、$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \frac{1}{2} \cos \theta \, d\theta$ となります。

また、積分範囲は以下のようになります。

- $x=0$ のとき、$-\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sin \theta$ より $\sin \theta = -1$, よって $\theta = -\frac{\pi}{2}$

- $x=1$ のとき、$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sin \theta$ より $\sin \theta = 1$, よって $\theta = \frac{\pi}{2}$

これらを代入すると、

$\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1}{4} - (x - \frac{1}{2})^2} \, dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \sin \theta)^2} \cdot \frac{1}{2} \cos \theta \, d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \sin^2 \theta} \cdot \frac{1}{2} \cos \theta \, d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\frac{1}{4} (1 - \sin^2 \theta)} \cdot \frac{1}{2} \cos \theta \, d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{\cos^2 \theta} \cdot \frac{1}{2} \cos \theta \, d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4} \cos^2 \theta \, d\theta$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を用いると、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{4} \cos^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{8} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta = \frac{1}{8} [\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{1}{8} [(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin (-\pi))] = \frac{1}{8} [(\frac{\pi}{2} + 0) - (-\frac{\pi}{2} + 0)] = \frac{1}{8} (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{8} \pi = \frac{\pi}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{8}$