与えられたパラメータ表示 $x = 1 - \cos(2t)$、 $y = \sin(t) + 2$ に対して、$\frac{dy}{dx}$を求め、$t = \frac{\pi}{6}$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられたパラメータ表示 $x = 1 - \cos(2t)$、 $y = \sin(t) + 2$ に対して、$\frac{dy}{dx}$を求め、$t = \frac{\pi}{6}$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - \cos(2t)) = 2\sin(2t)$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin(t) + 2) = \cos(t)$

$\frac{dy}{dx}$ は $\frac{dy/dt}{dx/dt}$ で与えられます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(t)}{2\sin(2t)}$

ここで、$\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(t)}{2(2\sin(t)\cos(t))} = \frac{\cos(t)}{4\sin(t)\cos(t)}$

$\cos(t)$ が0でないとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4\sin(t)}$ となります。

次に、$t = \frac{\pi}{6}$ を代入します。

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx}|_{t=\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx}|_{t=\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$