与えられた問題は、以下の定積分を計算することです。 $\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の定積分を計算することです。

$\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx$

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、部分積分を用いることができます。まず、ガウス積分

$\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

を使うことを考えます。

部分積分を適用します。$u = x$、$dv = xe^{-x^2}dx$ とすると、$du = dx$、$v = -\frac{1}{2}e^{-x^2}$ となります。

$\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = \int_{0}^{\infty} x \cdot (xe^{-x^2}) dx$

$= \left[x \cdot \left(-\frac{1}{2}e^{-x^2}\right)\right]_0^{\infty} - \int_0^{\infty} 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}e^{-x^2}\right)dx$

$= \left[-\frac{1}{2}xe^{-x^2}\right]_0^{\infty} + \frac{1}{2} \int_0^{\infty} e^{-x^2}dx$

$\lim_{x \to \infty} xe^{-x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^2}}$ であり、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2xe^{x^2}} = 0$

したがって、$\left[-\frac{1}{2}xe^{-x^2}\right]_0^{\infty} = 0$ となります。

$\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^{\infty} e^{-x^2}dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

$\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{\pi}}{4}$