与えられた積分を計算します。問題は、 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。問題は、

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}} dx$

を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、平方完成を用いて、根号の中身を整理します。

$x^2 + 2x = x^2 + 2x + 1 - 1 = (x+1)^2 - 1$

したがって、積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2 - 1}} dx$

となります。

ここで、$x+1 = \cosh(u)$ と置換します。すると、

$dx = \sinh(u) du$

となります。積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{\cosh^2(u) - 1}} \sinh(u) du = \int \frac{1}{\sqrt{\sinh^2(u)}} \sinh(u) du = \int \frac{1}{\sinh(u)} \sinh(u) du = \int 1 du = u + C$

となります。ここで、$C$は積分定数です。

$u = \operatorname{arcosh}(x+1)$ なので、

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}} dx = \operatorname{arcosh}(x+1) + C$

$\operatorname{arcosh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ より、

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x}} dx = \ln(x+1 + \sqrt{(x+1)^2 - 1}) + C = \ln(x+1 + \sqrt{x^2+2x}) + C$

3. 最終的な答え

$\ln(x+1 + \sqrt{x^2+2x}) + C$