画像には2つの積分問題が含まれています。 (2) $\int_{1}^{e} x \log x \, dx$ (3) $\int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx$ ここでは、これらの積分問題を解きます。

## 解答

1. 問題の内容

画像には2つの積分問題が含まれています。

(2) $\int_{1}^{e} x \log x \, dx$

(3) $\int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx$

ここでは、これらの積分問題を解きます。

2. 解き方の手順

(2) $\int_{1}^{e} x \log x \, dx$

部分積分を使って解きます。$u = \log x$、$dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$、$v = \frac{x^2}{2}$ となります。部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int_{1}^{e} x \log x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} \, dx$

$= \left( \frac{e^2}{2} \log e - \frac{1^2}{2} \log 1 \right) - \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{e}$

$= \left( \frac{e^2}{2} (1) - \frac{1}{2} (0) \right) - \left( \frac{e^2}{4} - \frac{1^2}{4} \right)$

$= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}$

$= \frac{2e^2 - e^2}{4} + \frac{1}{4}$

$= \frac{e^2 + 1}{4}$

(3) $\int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx$

部分積分を2回使って解きます。

1回目: $u = x^2$、$dv = e^x \, dx$ とすると、$du = 2x \, dx$、$v = e^x$ となります。

$\int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx = \left[ x^2 e^x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2x e^x \, dx$

$= \left( 1^2 e^1 - 0^2 e^0 \right) - 2 \int_{0}^{1} x e^x \, dx$

$= e - 2 \int_{0}^{1} x e^x \, dx$

2回目: $u = x$、$dv = e^x \, dx$ とすると、$du = dx$、$v = e^x$ となります。

$\int_{0}^{1} x e^x \, dx = \left[ x e^x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x \, dx$

$= \left( 1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0 \right) - \left[ e^x \right]_{0}^{1}$

$= e - (e^1 - e^0)$

$= e - (e - 1)$

$= 1$

よって、

$\int_{0}^{1} x^2 e^x \, dx = e - 2 \int_{0}^{1} x e^x \, dx = e - 2(1) = e - 2$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{e^2 + 1}{4}$

(3) $e - 2$