与えられた4つの関数 $f(x)$ をそれぞれ微分する問題です。 (1) $f(x) = (2x+1)^4$ (2) $f(x) = \cos(\tan x)$ (3) $f(x) = x^3 \arcsin x$ (4) $f(x) = \frac{e^x}{x}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数 $f(x)$ をそれぞれ微分する問題です。

(1) $f(x) = (2x+1)^4$

(2) $f(x) = \cos(\tan x)$

(3) $f(x) = x^3 \arcsin x$

(4) $f(x) = \frac{e^x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = (2x+1)^4$ の微分

合成関数の微分を利用します。

$u = 2x+1$ とおくと、$f(x) = u^4$ となります。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{df}{du} = 4u^3$ 、 $\frac{du}{dx} = 2$ となるので、

$\frac{df}{dx} = 4(2x+1)^3 \cdot 2 = 8(2x+1)^3$

(2) $f(x) = \cos(\tan x)$ の微分

これも合成関数の微分を利用します。

$u = \tan x$ とおくと、$f(x) = \cos u$ となります。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ より、

$\frac{df}{du} = -\sin u$ 、 $\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ となるので、

$\frac{df}{dx} = -\sin(\tan x) \cdot \sec^2 x$

(3) $f(x) = x^3 \arcsin x$ の微分

積の微分法を利用します。

$(uv)' = u'v + uv'$ より、

$u = x^3$ 、 $v = \arcsin x$ とおくと、

$u' = 3x^2$ 、 $v' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ となるので、

$\frac{df}{dx} = 3x^2 \arcsin x + x^3 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 3x^2 \arcsin x + \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}$

(4) $f(x) = \frac{e^x}{x}$ の微分

商の微分法を利用します。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ より、

$u = e^x$ 、 $v = x$ とおくと、

$u' = e^x$ 、 $v' = 1$ となるので、

$\frac{df}{dx} = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{xe^x - e^x}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 8(2x+1)^3$

(2) $f'(x) = -\sin(\tan x) \sec^2 x$

(3) $f'(x) = 3x^2 \arcsin x + \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}$

(4) $f'(x) = \frac{(x-1)e^x}{x^2}$