与えられた極限の計算問題を解きます。具体的には、以下の3つの極限を計算します。 (2) $\lim_{x \to 2} \left\{ -\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x^2 - 4x + 4} \right\}$ (4) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3}{4}\right)^x$ (5) $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^x$ (7) $\lim_{x \to \frac{1}{9}} \log_3 x$ (8) $\lim_{x \to +0} \log_3 x$

1. 問題の内容

与えられた極限の計算問題を解きます。具体的には、以下の3つの極限を計算します。

(2) $\lim_{x \to 2} \left\{ -\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x^2 - 4x + 4} \right\}$

(4) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3}{4}\right)^x$

(5) $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^x$

(7) $\lim_{x \to \frac{1}{9}} \log_3 x$

(8) $\lim_{x \to +0} \log_3 x$

2. 解き方の手順

(2) まず、式を整理します。

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$ であるため、

$\lim_{x \to 2} \left\{ -\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{(x-2)^2} \right\} = \lim_{x \to 2} \left\{ -\frac{2}{(x-2)^2} \right\}$

$x \to 2$ のとき、$(x-2)^2 \to 0$ であり、$(x-2)^2 > 0$ であるから、$-\frac{2}{(x-2)^2} \to -\infty$

(4) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3}{4}\right)^x$ を計算します。

$\frac{3}{4} < 1$ であるから、$x \to \infty$ のとき、$\left(\frac{3}{4}\right)^x \to 0$

(5) $\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^x$ を計算します。

$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^x = \lim_{x \to -\infty} \left(\frac{4}{3}\right)^{-x} = \lim_{y \to \infty} \left(\frac{4}{3}\right)^{y}$ (ここで $y = -x$ とおいた)

$\frac{4}{3} > 1$ であるから、$y \to \infty$ のとき、$\left(\frac{4}{3}\right)^{y} \to \infty$

(7) $\lim_{x \to \frac{1}{9}} \log_3 x$ を計算します。

これは連続関数なので、直接代入して計算できます。

$\lim_{x \to \frac{1}{9}} \log_3 x = \log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2$

(8) $\lim_{x \to +0} \log_3 x$ を計算します。

$x \to +0$ のとき、$\log_3 x \to -\infty$

3. 最終的な答え

(2) $-\infty$

(4) 0

(5) $\infty$

(7) -2

(8) $-\infty$