次の不定積分を求めよ。 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx$

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を平方完成します。

$x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2 + 1}} dx$

ここで、$x+2 = u$ と置換すると、$dx = du$ となります。

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}} du$

この積分は、双曲線関数の逆正弦関数 arcsinh を用いて計算できます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}} du = \text{arcsinh}(u) + C$

ここで、arcsinh の定義より $\text{arcsinh}(u) = \ln(u + \sqrt{u^2 + 1})$ なので、

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}} du = \ln(u + \sqrt{u^2 + 1}) + C$

最後に、$u = x+2$ を代入します。

$\ln(x+2 + \sqrt{(x+2)^2 + 1}) + C = \ln(x+2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5}) + C$

3. 最終的な答え

$\ln(x+2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5}) + C$