次の不定積分を求める問題です。 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx$ また、結果は $\log(|ア| + \sqrt{イ}) + C$ の形式で表され、「ア」と「イ」に該当する選択肢を選ぶ必要があります。

1. 問題の内容

次の不定積分を求める問題です。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx$

また、結果は $\log(|ア| + \sqrt{イ}) + C$ の形式で表され、「ア」と「イ」に該当する選択肢を選ぶ必要があります。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身の $x^2 + 4x + 5$ を平方完成します。

$x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1$

したがって、積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2 + 1}} dx$

となります。

ここで、$x+2 = \sinh(u)$ と置換します。すると、$dx = \cosh(u) du$ となります。

$\sinh(u)$ の定義より $\sinh(u) = \frac{e^u - e^{-u}}{2}$。

$\cosh(u)$ の定義より $\cosh(u) = \frac{e^u + e^{-u}}{2}$。

また、$\cosh^2(u) - \sinh^2(u) = 1$。

置換積分を行うと、

$\int \frac{1}{\sqrt{\sinh^2(u) + 1}} \cosh(u) du = \int \frac{1}{\sqrt{\cosh^2(u)}} \cosh(u) du = \int \frac{\cosh(u)}{\cosh(u)} du = \int 1 du = u + C_1$

となります。

$u = \sinh^{-1}(x+2)$ であるため、

$\sinh^{-1}(x+2) + C_1$

$\sinh^{-1}(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$であるため、

$\log(x+2 + \sqrt{(x+2)^2+1}) + C_1 = \log(x+2 + \sqrt{x^2+4x+4+1}) + C_1 = \log(x+2 + \sqrt{x^2+4x+5}) + C_1$

したがって、$ア = x+2$、$イ = x^2 + 4x + 5$

3. 最終的な答え

ア：1

イ：3