数列 $\left\{ (x^2 - 2x - 1)^n \right\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\left\{ (x^2 - 2x - 1)^n \right\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

数列 $\{a^n\}$ が収束するための条件は、以下のいずれかです。

* $-1 < a \le 1$

* $a = 0$

したがって、$a = x^2 - 2x - 1$ とすると、数列 $\left\{ (x^2 - 2x - 1)^n \right\}$ が収束するためには、

$-1 < x^2 - 2x - 1 \le 1$

を満たすか、または $x^2 - 2x - 1 = 0$ を満たす必要があります。

まず、$x^2 - 2x - 1 = 0$ のとき、解の公式より

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

この場合は、数列は $0^n = 0$ に収束します。

次に、$x^2 - 2x - 1 > -1$ を解きます。

$x^2 - 2x > 0$

$x(x - 2) > 0$

したがって、$x < 0$ または $x > 2$。

次に、$x^2 - 2x - 1 \le 1$ を解きます。

$x^2 - 2x - 2 \le 0$

解の公式より、$x^2 - 2x - 2 = 0$ の解は

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$1 - \sqrt{3} \le x \le 1 + \sqrt{3}$。

これらをまとめると、$x < 0$ または $x > 2$ であり、かつ $1 - \sqrt{3} \le x \le 1 + \sqrt{3}$ なので、

$1 - \sqrt{3} \le x < 0$ または $2 < x \le 1 + \sqrt{3}$。

これに、$x = 1 \pm \sqrt{2}$ を加えると、

$1 - \sqrt{3} \le x < 0$ または $x = 1 - \sqrt{2}$ または $2 < x \le 1 + \sqrt{3}$ または $x = 1 + \sqrt{2}$

ここで、$1 - \sqrt{3} \approx -0.732$、 $1 - \sqrt{2} \approx -0.414$、$1 + \sqrt{2} \approx 2.414$、$1 + \sqrt{3} \approx 2.732$ なので、

$1 - \sqrt{3} \le x < 0$ は $1 - \sqrt{3} \le x < 0$ を含み、$2 < x \le 1 + \sqrt{3}$ は $2 < x \le 1 + \sqrt{3}$ を含みます。

したがって、$1 - \sqrt{3} \le x \le 1 + \sqrt{3}$ かつ $x \neq 0$ かつ $x \neq 2$ であり、$x = 1 \pm \sqrt{2}$ を含みます。

3. 最終的な答え

$1 - \sqrt{3} \le x \le 1 + \sqrt{3}$