与えられた複数の数学の問題について、それぞれの解答を求める。問題は、極限の計算、関数の微分、連続性、微分可能性の判定、およびC∞級関数の証明に関するものである。

## 回答

1. 問題の内容

与えられた複数の数学の問題について、それぞれの解答を求める。問題は、極限の計算、関数の微分、連続性、微分可能性の判定、およびC∞級関数の証明に関するものである。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解いていく。

1. 極限の計算: 式の変形やロピタルの定理などを用いて、極限を求める。

2. 関数の微分: 微分の公式や積の微分、合成関数の微分などを用いて、微分を計算する。

3. 連続性の判定: 左極限と右極限を求め、それらが一致するかどうかを調べる。

4. 微分可能性の判定: 微分係数の定義に従って、左側微分係数と右側微分係数を求め、それらが一致するかどうかを調べる。

5. C∞級関数の証明: 関数が何回でも微分可能であることを示す。

問題1 (1)

$\lim_{x \to 3} \frac{x}{(x-3)^2}$

$x \to 3$ のとき、分子は3に近づき、分母は0に近づく。また、分母は常に正の値を取るので、この極限は正の無限大に発散する。

問題1 (2)

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 5x}{2x^2}$

分子と分母を $x^2$ で割る。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x + \frac{5}{x}}{2}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{5}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x + \frac{5}{x}}{2} = \infty$

この極限は正の無限大に発散する。

問題2

$f(x) = \frac{|x-2|(x-3)}{x-2}$ ($x \neq 2$) について、$\lim_{x \to 2+0} f(x)$ と $\lim_{x \to 2-0} f(x)$ を求める。

$x \to 2+0$ のとき、$x > 2$ なので、$|x-2| = x-2$。したがって、$f(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{x-2} = x-3$。

$\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2+0} (x-3) = 2-3 = -1$

$x \to 2-0$ のとき、$x < 2$ なので、$|x-2| = -(x-2)$。したがって、$f(x) = \frac{-(x-2)(x-3)}{x-2} = -(x-3) = 3-x$。

$\lim_{x \to 2-0} f(x) = \lim_{x \to 2-0} (3-x) = 3-2 = 1$

問題3

$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) \tan(\frac{1}{x})$

$\tan(\frac{1}{x}) = \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\cos(\frac{1}{x})}$ なので、

$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) \tan(\frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\cos(\frac{1}{x})} = \lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x})$

$-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$ なので、$-|x| \leq x \sin(\frac{1}{x}) \leq |x|$。

$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$ および $\lim_{x \to 0} |x| = 0$ であるから、挟みうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$

問題4 (1)

$y = x^2 \sin x$

積の微分法より、$y' = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x$

問題4 (2)

$y = \frac{x^3}{e^x}$

商の微分法より、$y' = \frac{(x^3)' e^x - x^3 (e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{3x^2 e^x - x^3 e^x}{e^{2x}} = \frac{3x^2 - x^3}{e^x}$

問題5 (1)

$y = (x^2 + 1)^{100}$

合成関数の微分法より、$y' = 100(x^2 + 1)^{99} (x^2 + 1)' = 100(x^2 + 1)^{99} (2x) = 200x (x^2 + 1)^{99}$

問題5 (2)

$y = x - \log(x^2 + 2x)$

$y' = 1 - \frac{(x^2 + 2x)'}{x^2 + 2x} = 1 - \frac{2x+2}{x^2 + 2x} = 1 - \frac{2(x+1)}{x(x+2)} = \frac{x(x+2) - 2(x+1)}{x(x+2)} = \frac{x^2 + 2x - 2x - 2}{x(x+2)} = \frac{x^2 - 2}{x(x+2)}$

問題6

$y = \tan^{-1}(2x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(2x)^2} (2x)' = \frac{2}{1+4x^2}$

問題7

$f(x) = \frac{x^2 + a}{x+1}$ ($x \neq -1$)

(1) $f$ が $x = -1$ で連続であるための $a$ に関する必要条件を求める。

$x \to -1$ のとき、$x+1 \to 0$ なので、$\lim_{x \to -1} f(x)$ が存在するためには、$x^2 + a$ も $x = -1$ で 0 にならなければならない。したがって、$(-1)^2 + a = 0$。つまり、$1 + a = 0$ なので、$a = -1$。

(2) $f$ を連続関数にするためには、$f(-1)$ をどう決めればよいか。

$a = -1$ のとき、$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1$ ($x \neq -1$)。

したがって、$f(-1) = \lim_{x \to -1} f(x) = -1 - 1 = -2$ とすれば、$f$ は連続関数になる。

問題8

$f(x) = \begin{cases} \frac{3x^2}{|x|} & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$

(1) $x = 0$ において関数 $f$ が連続かどうか、左極限と右極限を求めて判定せよ。

$x > 0$ のとき、$|x| = x$ なので、$f(x) = \frac{3x^2}{x} = 3x$。したがって、$\lim_{x \to 0+0} f(x) = \lim_{x \to 0+0} 3x = 0$。

$x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、$f(x) = \frac{3x^2}{-x} = -3x$。したがって、$\lim_{x \to 0-0} f(x) = \lim_{x \to 0-0} -3x = 0$。

$f(0) = 0$ なので、$\lim_{x \to 0+0} f(x) = \lim_{x \to 0-0} f(x) = f(0) = 0$。したがって、$f$ は $x=0$ で連続である。

(2) $x = 0$ において関数 $f$ が微分可能かどうか、$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ と $\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ を求めて判定せよ。

$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{3h - 0}{h} = \lim_{h \to +0} 3 = 3$。

$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-3h - 0}{h} = \lim_{h \to -0} -3 = -3$。

右側微分係数と左側微分係数が一致しないので、$f$ は $x = 0$ で微分可能ではない。

問題9

関数 $f(x) = -\sin x$ が $C^\infty$ 級関数であることを示せ。

$f(x) = -\sin x$

$f'(x) = -\cos x$

$f''(x) = \sin x$

$f'''(x) = \cos x$

$f^{(4)}(x) = -\sin x$

$-\sin x$, $-\cos x$, $\sin x$, $\cos x$ はすべて微分可能な関数である。また、これらの導関数は再び$-\sin x$, $-\cos x$, $\sin x$, $\cos x$のいずれかの形になる。したがって、$f(x) = -\sin x$ は何回でも微分可能であり、$C^\infty$ 級関数である。

3. 最終的な答え

1. (1) $\infty$ (2) $\infty$

2. $\lim_{x \to 2+0} f(x) = -1$, $\lim_{x \to 2-0} f(x) = 1$

3. $0$

4. (1) $y' = 2x \sin x + x^2 \cos x$ (2) $y' = \frac{3x^2 - x^3}{e^x}$

5. (1) $y' = 200x (x^2 + 1)^{99}$ (2) $y' = \frac{x^2 - 2}{x(x+2)}$

6. $y' = \frac{2}{1+4x^2}$

7. (1) $a = -1$ (2) $f(-1) = -2$

8. (1) 連続 (2) 微分不可能

9. 証明完了