時刻 $t$ における質点の位置が $x = at\sin(\omega t)$, $y = at\cos(\omega t)$ で表されるとき、以下の問いに答える問題です。ただし、$a, \omega$ は正の定数です。 (1) 時刻 $t$ での質点の速度の $x$ 成分、$y$ 成分を求めよ。 (2) 時刻 $t$ での質点の加速度の $x$ 成分、$y$ 成分を求めよ。

1. 問題の内容

時刻 $t$ における質点の位置が $x = at\sin(\omega t)$, $y = at\cos(\omega t)$ で表されるとき、以下の問いに答える問題です。ただし、$a, \omega$ は正の定数です。

(1) 時刻 $t$ での質点の速度の $x$ 成分、$y$ 成分を求めよ。

(2) 時刻 $t$ での質点の加速度の $x$ 成分、$y$ 成分を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 速度は位置の時間微分で求められます。

まず、$x$ 方向の速度 $v_x$ を求めます。

$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(at\sin(\omega t))$

積の微分公式を用いると、

$v_x = a\sin(\omega t) + at\omega\cos(\omega t)$

$v_x = a\sin(\omega t) + a\omega t\cos(\omega t)$

次に、$y$ 方向の速度 $v_y$ を求めます。

$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(at\cos(\omega t))$

積の微分公式を用いると、

$v_y = a\cos(\omega t) + at(-\omega\sin(\omega t))$

$v_y = a\cos(\omega t) - a\omega t\sin(\omega t)$

(2) 加速度は速度の時間微分で求められます。

まず、$x$ 方向の加速度 $a_x$ を求めます。

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt}(a\sin(\omega t) + a\omega t\cos(\omega t))$

$a_x = a\omega\cos(\omega t) + a\omega\cos(\omega t) + a\omega t(-\omega\sin(\omega t))$

$a_x = 2a\omega\cos(\omega t) - a\omega^2 t\sin(\omega t)$

次に、$y$ 方向の加速度 $a_y$ を求めます。

$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(a\cos(\omega t) - a\omega t\sin(\omega t))$

$a_y = -a\omega\sin(\omega t) - a\omega\sin(\omega t) - a\omega t(\omega\cos(\omega t))$

$a_y = -2a\omega\sin(\omega t) - a\omega^2 t\cos(\omega t)$

3. 最終的な答え

(1) 速度の $x$ 成分: $a\sin(\omega t) + a\omega t\cos(\omega t)$

速度の $y$ 成分: $a\cos(\omega t) - a\omega t\sin(\omega t)$

(2) 加速度の $x$ 成分: $2a\omega\cos(\omega t) - a\omega^2 t\sin(\omega t)$

加速度の $y$ 成分: $-2a\omega\sin(\omega t) - a\omega^2 t\cos(\omega t)$