関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x$ について、以下のものを求めます。 * x切片（$y=0$ のときの $x$ の値）と y切片（$x=0$ のときの $y$ の値） * 極値をとる $x$ の値と極値（極大値、極小値）

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x$ について、以下のものを求めます。

* x切片（$y=0$ のときの $x$ の値）と y切片（$x=0$ のときの $y$ の値）

* 極値をとる $x$ の値と極値（極大値、極小値）

2. 解き方の手順

* **切片を求める**

* **x切片**：$f(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-x^3 + 3x^2 - 2x = 0$

$-x(x^2 - 3x + 2) = 0$

$-x(x - 1)(x - 2) = 0$

よって、$x = 0, 1, 2$ が x切片です。

* **y切片**：$f(0)$ を求めます。

$f(0) = -0^3 + 3(0)^2 - 2(0) = 0$

よって、$y = 0$ が y切片です。

* **極値を求める**

* **導関数を求める**：$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = -3x^2 + 6x - 2$

* **$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める**：

$-3x^2 + 6x - 2 = 0$

$3x^2 - 6x + 2 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ および $x_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ が極値候補です。

* **増減表を作成する**：

$f''(x) = -6x + 6$

$f''(x_1) = -6(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}) + 6 = -6 + 2\sqrt{3} + 6 = 2\sqrt{3} > 0$ なので、$x_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ で極小値をとります。

$f''(x_2) = -6(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}) + 6 = -6 - 2\sqrt{3} + 6 = -2\sqrt{3} < 0$ なので、$x_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ で極大値をとります。

* **極値を計算する**：

$f(x_1) = f(\frac{3 - \sqrt{3}}{3})$ および $f(x_2) = f(\frac{3 + \sqrt{3}}{3})$ を計算します。計算は省略しますが、それぞれ極小値と極大値となります。

3. 最終的な答え

* x切片：$x = 0, 1, 2$

* y切片：$y = 0$

* 極小値をとる $x$ の値：$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

* 極大値をとる $x$ の値：$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

* 極小値：$f(\frac{3 - \sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{9}\sqrt{3} - \frac{2}{3}$

* 極大値：$f(\frac{3 + \sqrt{3}}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{9}\sqrt{3}$